Invariant Manifolds and Fibrations for Perturbed Nonlinear Schrödinger Equations

این کتاب توسعه نظریه منیفولد ثابت را برای یک سیستم موج غیرخطی متعارف خاص - معادله غیرخطی شروینگر آشفته ارائه می‌کند. نتایج اصلی به دو بخش تقسیم می شوند. بخش اول مربوط به ماندگاری و صافی منیفولدهای محلی است. بخش دوم مربوط به فیبراسیون منیفولدهای پایدار و ناپایدار منیفولدهای ثابت ورودی و سرریز است. تکنیک اصلی برای اثبات این نتایج، روش تبدیل گراف هادامارد است که به یک تنظیم بی‌بعد تعمیم داده شده است. با این حال، تنظیمات ما تا حدودی متفاوت از سایر رویکردها برای منیفولدهای نامتغیر با ابعاد نامتناهی است، زیرا برای معادلات موج محافظه کارانه، بسیاری از منیفولدهای نامتغیر جالب، ابعادی نامتناهی و ناکامپکت هستند. سبک کتاب ارائه براهین بسیار دقیق قضایای یک سیستم دینامیکی با ابعاد نامتناهی - معادله غیرخطی شرودینگر آشفته است. کتاب به شرح زیر تنظیم شده است. فصل اول مقدمه‌ای ارائه می‌کند که وضعیت فن تئوری منیفولد ثابت را برای سیستم‌های دینامیکی ابعادی نامتناهی بررسی می‌کند. فصل دوم تنظیمات کلی را برای معادله غیرخطی شرودینگر ایجاد می کند. فصل سوم به اثبات نتایج اصلی در مورد پایداری و صافی لابه‌لای‌های انسان ثابت می‌پردازد. فصل چهارم به اثبات نتایج اصلی در مورد پایداری و صافی فیبراسیون منیفولدهای ثابت می‌پردازد. این کتاب نتیجه کار ما در 9 سال گذشته در مورد هرج و مرج هموکلینیک در معادله غیرخطی شرودینگر است. قضایای این کتاب بلوک‌های سازنده کلیدی را برای بسیاری از آن کار فراهم می‌کنند.

This book presents a development of invariant manifold theory for a spe­ cific canonical nonlinear wave system -the perturbed nonlinear Schrooinger equation. The main results fall into two parts. The first part is concerned with the persistence and smoothness of locally invariant manifolds. The sec­ ond part is concerned with fibrations of the stable and unstable manifolds of inflowing and overflowing invariant manifolds. The central technique for proving these results is Hadamard's graph transform method generalized to an infinite-dimensional setting. However, our setting is somewhat different than other approaches to infinite dimensional invariant manifolds since for conservative wave equations many of the interesting invariant manifolds are infinite dimensional and noncom pact. The style of the book is that of providing very detailed proofs of theorems for a specific infinite dimensional dynamical system-the perturbed nonlinear Schrodinger equation. The book is organized as follows. Chapter one gives an introduction which surveys the state of the art of invariant manifold theory for infinite dimensional dynamical systems. Chapter two develops the general setup for the perturbed nonlinear Schrodinger equation. Chapter three gives the proofs of the main results on persistence and smoothness of invariant man­ ifolds. Chapter four gives the proofs of the main results on persistence and smoothness of fibrations of invariant manifolds. This book is an outgrowth of our work over the past nine years concerning homoclinic chaos in the perturbed nonlinear Schrodinger equation. The theorems in this book provide key building blocks for much of that work.