Introduction to the Foundations of Applied Mathematics

Preface to the Second Edition......Page 7
Preface to the First Edition......Page 8
Contents......Page 10
 1.1 Introduction......Page 16
 1.2 Examples of Dimensional Reduction......Page 18
  1.2.1 Maximum Height of a Projectile......Page 20
  1.2.2 Drag on a Sphere......Page 21
   Find the General Product Solution......Page 22
   Determine the General Solution......Page 23
   Representation of Solution......Page 24
   Determining F......Page 26
   Scale Models......Page 27
   Endnotes......Page 28
  1.2.3 Toppling Dominoes......Page 29
 1.3 Theoretical Foundation......Page 31
  1.3.1 Pattern Formation......Page 35
 1.4 Similarity Variables......Page 37
  1.4.1 Dimensional Reduction......Page 38
  1.4.2 Similarity Solution......Page 40
   1.5.1.1 Change Variables......Page 42
   1.5.1.3 Use Dimensionless Groups to Determine Scaling......Page 44
  1.5.2 Weakly Nonlinear Diffusion......Page 46
  Section 1.2......Page 49
  Section 1.4......Page 54
  Section 1.5......Page 56
  Additional Questions......Page 59
 2.1 Regular Expansions......Page 63
  2.2.1 Given a Specific Function......Page 67
  2.2.2 Given an Algebraic or Transcendental Equation......Page 70
  2.2.3 Given an Initial Value Problem......Page 74
 2.3 Scales and Approximation......Page 78
 2.4 Introduction to Singular Perturbations......Page 80
 2.5 Introduction to Boundary Layers......Page 83
  2.5.1 Endnotes......Page 90
  2.6.1 Example 1: Layer at Left End......Page 91
  2.6.2 Example 2: Layer at Right End......Page 93
  2.6.3 Example 3: Boundary Layer at Both Ends......Page 95
 2.7 Multiple Scales......Page 98
  2.7.1 Regular Expansion......Page 99
  2.7.2 Multiple Scales Expansion......Page 102
  Sections 2.1 and 2.2......Page 106
  Section  2.3......Page 109
  Sections 2.4–2.6......Page 110
  Section 2.7......Page 112
  Additional Questions......Page 113
  3.1.1 Radioactive Decay......Page 116
  3.1.3 Epidemic Model......Page 117
 3.2 Kinetic Equations......Page 118
  3.2.1 The Law of Mass Action......Page 120
  3.2.2 Conservation Laws......Page 122
  3.2.4 Examples......Page 124
  3.2.5 End Notes......Page 126
 3.3 Modeling Using the Law of Mass Action......Page 127
  3.3.1 Michaelis-Menten Kinetics......Page 128
  3.3.2 Disease Modeling......Page 129
  3.3.3 Reverse Mass Action......Page 131
 3.4 General Mathematical Formulation......Page 132
  3.5.1 Reaction Analysis......Page 136
  3.5.2 Geometric Analysis......Page 137
  3.5.3 Perturbation Analysis......Page 139
  3.6.1 Numerical Solution......Page 147
  3.6.2 Quasi-Steady-State Approximation......Page 148
   3.6.3.1 Nondimensionalization......Page 150
   3.6.3.2 Outer Expansion......Page 151
   3.6.3.4 Matching and Composite Expansion......Page 152
   3.6.3.5 Analysis of Solution......Page 153
   3.6.3.6 Connection with QSSA......Page 155
 3.7 Oscillators......Page 156
  3.7.1 Stability......Page 158
 3.8 Modeling with the QSSA......Page 161
  Section 3.2......Page 164
  Section 3.3......Page 165
  Section 3.4......Page 168
  Section 3.5......Page 170
  Sections 3.6 and 3.7......Page 172
  Sections 3.8......Page 174
  Additional Questions......Page 176
 4.1 Introduction......Page 178
 4.2 Random Walks and Brownian Motion......Page 180
  4.2.1 Calculating w(m,n)......Page 183
  4.2.2 Large n Approximation......Page 185
 4.3 Continuous Limit......Page 187
  4.3.1 What Does D Signify?......Page 188
   Diffusion in a Fluid......Page 189
   Diffusion in a Solid......Page 190
  4.4.1 Point Source Solution......Page 191
  4.4.2 A Step Function Initial Condition......Page 196
 4.5 Fourier Transform......Page 199
  4.5.1 Transformation of Derivatives......Page 200
  4.5.2 Convolution Theorem......Page 202
  4.5.3 Solving the Diffusion Equation......Page 204
 4.6 Continuum Formulation of Diffusion......Page 207
  4.6.1 Balance Law......Page 208
  4.6.2 Fick\'s Law of Diffusion......Page 209
  4.6.3 Reaction-Diffusion Equations......Page 216
 4.7 Random Walks and Diffusion in Higher Dimensions......Page 218
  4.7.1 Diffusion Equation......Page 220
 4.8 Langevin Equation......Page 224
  4.8.1 Properties of the Random Forcing......Page 226
  4.8.2 Endnotes......Page 232
  Sections 4.2 and 4.3......Page 233
  Section 4.4......Page 239
  Section 4.5......Page 240
  Section 4.6......Page 242
  Section 4.7......Page 243
  Section 4.8......Page 244
 5.2 Continuum Variables......Page 246
  5.2.1 Density......Page 247
  5.2.2 Flux......Page 249
 5.3 Balance Law......Page 250
  5.3.1 Velocity Formulation......Page 251
 5.4 Constitutive Laws......Page 252
  5.4.2 Linear Velocity: Greenshields Law......Page 254
  5.4.3 General Velocity Formulation......Page 255
  5.4.5 Reality Check......Page 257
 5.5 Constant Velocity......Page 258
  5.5.1 Characteristics......Page 261
 5.6 Density Dependent Velocity......Page 265
  5.6.1 Small Disturbance Approximation......Page 266
  5.6.2 Method of Characteristics......Page 268
  5.6.3 Rankine-Hugoniot Condition......Page 273
  5.6.4 Shock Waves......Page 275
  5.6.5 Expansion Fan......Page 277
   5.6.5.1 General Formula for an Expansion Fan......Page 280
   5.6.5.2 Parting Comments......Page 282
  5.6.6 Summary......Page 283
  5.6.7 Additional Examples......Page 284
 5.7 Cellular Automata Modeling......Page 289
  Sections 5.2–5.4......Page 295
  Section 5.5......Page 297
  Section 5.6......Page 298
  Section 5.7......Page 302
  Additional Questions......Page 303
 6.2 Frame of Reference......Page 308
  6.2.1 Material Coordinates......Page 309
  6.2.2 Spatial Coordinates......Page 310
  6.2.3 Material Derivative......Page 313
  6.2.4 End Notes......Page 315
 6.3 Mathematical Tools......Page 317
 6.4 Continuity Equation......Page 318
  6.4.1 Material Coordinates......Page 319
 6.5 Momentum Equation......Page 320
 6.6 Summary of the Equations of Motion......Page 322
 6.7 Steady-State Solution......Page 324
 6.8 Constitutive Law for an Elastic Material......Page 325
  6.8.1 Derivation of Strain......Page 327
  6.8.2 Material Linearity......Page 329
  6.8.3 Material Nonlinearity......Page 332
  6.8.4 End Notes......Page 333
  6.9.1 Metals......Page 334
  6.9.2 Elastomers......Page 337
 6.10 Restrictions on Constitutive Laws......Page 338
  6.10.1 Frame-Indifference......Page 339
  6.10.2 Entropy Inequality......Page 341
  6.10.3 Hyperelasticity......Page 345
  Section 6.2......Page 348
  Sections 6.3–6.6......Page 350
  Sections 6.7 and 6.8......Page 351
  Section 6.9......Page 353
  Section 6.10......Page 354
 7.1 Linear Elasticity......Page 357
  7.1.1 Method of Characteristics......Page 360
  7.1.2 Laplace Transform......Page 362
   7.1.2.1 Mathematical Requirements......Page 366
   7.1.2.2 Transformation of Derivatives......Page 367
   7.1.2.4 Solving the Problem for Linear Elasticity......Page 368
  7.1.3 Geometric Linearity......Page 374
  7.2.1 Mass, Spring, Dashpot Systems......Page 375
  7.2.2 Equations of Motion......Page 378
  7.2.3 Integral Formulation......Page 382
  7.2.4 Generalized Relaxation Functions......Page 384
  7.2.5 Solving Viscoelastic Problems......Page 385
  Section 7.1......Page 389
  Section 7.2......Page 391
  Additional Questions on the Laplace Transform......Page 396
  Additional Questions......Page 397
 8.1 Introduction......Page 400
 8.2 Material and Spatial Coordinates......Page 401
  8.2.1 Deformation Gradient......Page 403
 8.3 Material Derivative......Page 406
 8.4 Mathematical Tools......Page 408
  8.4.1 General Balance Law......Page 411
 8.5 Continuity Equation......Page 412
  8.5.1 Incompressibility......Page 413
 8.6 Linear Momentum Equation......Page 414
  8.6.1 Stress Tensor......Page 415
  8.6.2 Differential Form of Equation......Page 417
 8.8 Summary of the Equations of Motion......Page 418
  8.8.1 The Assumption of Incompressibility......Page 419
 8.9 Constitutive Laws......Page 420
  8.9.1 Representation Theorem and Invariants......Page 424
 8.10 Newtonian Fluid......Page 425
  8.10.2 Viscous Stress......Page 426
   8.10.2.1 Reduction of the Viscous Stress Function......Page 428
 8.11 Equations of Motion for a Viscous Fluid......Page 429
  8.11.1 Incompressibility......Page 430
  8.11.2 Boundary and Initial Conditions......Page 431
 8.12 Material Equations of Motion......Page 434
  8.12.2 Elastic Solid......Page 437
  8.12.3 Linear Elasticity......Page 440
 8.13 Energy Equation......Page 441
  8.13.1 Incompressible Viscous Fluid......Page 442
  8.13.2 Elasticity......Page 443
  Sections 8.2 and 8.3......Page 445
  Sections 8.4–8.8......Page 447
  Section 8.9......Page 448
  Section 8.10......Page 449
  Section 8.12......Page 450
  Section 8.13......Page 452
  Additional Questions......Page 453
9 Newtonian Fluids......Page 455
  9.1.1 Plane Couette Flow......Page 456
  9.1.2 Poiseuille Flow......Page 460
 9.2 Vorticity......Page 463
  9.2.1 Vortex Motion......Page 465
 9.3 Irrotational Flow......Page 466
  9.3.1 Potential Flow......Page 469
 9.4 Ideal Fluid......Page 471
  9.4.1 Circulation and Vorticity......Page 472
  9.4.2 Potential Flow......Page 475
 9.5 Boundary Layers......Page 479
  9.5.1 Impulsive Plate......Page 480
  9.5.2 Blasius Boundary Layer......Page 481
 9.6 Water Waves......Page 487
  9.6.1 Interface Conditions......Page 488
  9.6.2 Traveling Waves......Page 489
   9.6.2.1 Interpretation of Solution......Page 490
   9.6.3.1 Derivation of Solution......Page 491
   9.6.3.2 Interpretation of Solution......Page 494
  Section 9.1......Page 496
  Section 9.2......Page 497
  Section 9.3......Page 500
  Section 9.4......Page 501
  Section 9.5......Page 503
  Section 9.6......Page 504
  Additional Questions......Page 505
 A.1 Single Variable......Page 506
  A.1.1 Simplification via Substitution......Page 507
 A.2 Two Variables......Page 508
 A.3 Multivariable Versions......Page 509
 B.1 Fourier Series......Page 511
 B.2 Fourier Transform......Page 513
C Stochastic Differential Equations......Page 515
 D.2 Determinant......Page 517
 D.4 Miscellaneous......Page 518
 E.2 Cylindrical Coordinates......Page 519
References......Page 522
Index......Page 530