Introduction to tensor analysis and the calculus of moving surfaces

این کتاب درسی با عمق ارائه و بحث در مورد حساب سطوح متحرک، که امتدادی از حساب تانسوری به منیفولدهای تغییر شکل دهنده است، از سایر متون در مورد این موضوع متمایز می شود.

این متن که برای دانشجویان پیشرفته در مقطع کارشناسی و کارشناسی ارشد طراحی شده است، مخاطبان خود را دعوت می کند تا نگاهی تازه به مطالب آموخته شده قبلی از طریق منشور حساب تانسور بیندازند. پس از تسلط بر چارچوب، دانش‌آموز با مواد جدیدی آشنا می‌شود که شامل هندسه دیفرانسیل روی منیفولدها، بهینه‌سازی شکل، اغتشاش مرزی و معادلات فیلم سیال دینامیکی است.

زبان تانسورها، که در اصل توسط انیشتین حمایت می شد، به اندازه زبان های حساب دیفرانسیل و انتگرال و جبر خطی اساسی است و زبانی است که هر دانشمند فنی باید به آن صحبت کند. تکنیک تانسور که در اواخر قرن بیستم ابداع شد، اکنون کلاسیک در نظر گرفته می شود. با این حال، همانطور که نویسنده نشان می دهد، به طور قابل توجهی حیاتی و مرتبط است. قابلیت‌های سخنرانی ماهرانه نویسنده با گنجاندن مثال‌های روشنگر و تمرین‌های فراوان مشهود است. مقدار زیادی از مطالب به مبانی هندسی، مکانیک تغییر متغیرها، استفاده صحیح از نماد تانسور و بحث در مورد تعامل بین جبر و هندسه اختصاص داده شده است. فصل های اولیه دارای کلمات زیاد و معادلات کمی هستند. تعریف تانسور فقط در فصل 6 آمده است - زمانی که خواننده برای آن آماده باشد. در حالی که این متن سطح ثابتی از دقت را حفظ می کند، برای جلوگیری از رسمی شدن موضوع دقت زیادی دارد.

آخرین بخش کتاب درسی به حساب سطوح متحرک اختصاص دارد. این اولین شرح کتاب درسی این تکنیک مهم است و یکی از گوهرهای این متن است. تعدادی از کاربردهای مهیج حساب دیفرانسیل و انتگرال از جمله بهینه‌سازی شکل، اغتشاش مرزی مسائل مقدار مرزی و معادلات فیلم سیال پویا که توسط نویسنده در سال‌های اخیر توسعه یافته‌اند، ارائه شده‌اند. علاوه بر این، چارچوب سطوح متحرک برای ارائه مشتقات جدید از نتایج کلاسیک مانند معادله ژئودزیکی و قضیه مشهور گاوس-بونت استفاده می‌شود.

This textbook is distinguished from other texts on the subject by the depth of the presentation and the discussion of the calculus of moving surfaces, which is an extension of tensor calculus to deforming manifolds.

Designed for advanced undergraduate and graduate students, this text invites its audience to take a fresh look at previously learned material through the prism of tensor calculus. Once the framework is mastered, the student is introduced to new material which includes differential geometry on manifolds, shape optimization, boundary perturbation and dynamic fluid film equations.

The language of tensors, originally championed by Einstein, is as fundamental as the languages of calculus and linear algebra and is one that every technical scientist ought to speak. The tensor technique, invented at the turn of the 20^th century, is now considered classical. Yet, as the author shows, it remains remarkably vital and relevant. The author’s skilled lecturing capabilities are evident by the inclusion of insightful examples and a plethora of exercises. A great deal of material is devoted to the geometric fundamentals, the mechanics of change of variables, the proper use of the tensor notation and the discussion of the interplay between algebra and geometry. The early chapters have many words and few equations. The definition of a tensor comes only in Chapter 6 – when the reader is ready for it. While this text maintains a consistent level of rigor, it takes great care to avoid formalizing the subject.

The last part of the textbook is devoted to the Calculus of Moving Surfaces. It is the first textbook exposition of this important technique and is one of the gems of this text. A number of exciting applications of the calculus are presented including shape optimization, boundary perturbation of boundary value problems and dynamic fluid film equations developed by the author in recent years. Furthermore, the moving surfaces framework is used to offer new derivations of classical results such as the geodesic equation and the celebrated Gauss-Bonnet theorem.