Introduction to Smooth Manifolds

این کتاب یک کتاب درسی مقدماتی در مقطع کارشناسی ارشد در مورد تئوری منیفولدهای صاف است. هدف آن آشنایی دانش‌آموزان با ابزارهایی است که برای استفاده از منیفولدها در تحقیقات ریاضی یا علمی نیاز دارند --- ساختارهای صاف، بردارها و بردارهای مماس، بسته‌های برداری، زیرمنیفولدهای غوطه‌ور و تعبیه‌شده، تانسورها، فرم‌های دیفرانسیل، هم‌شناسی د رام، فیلدهای برداری، جریان ها، شاخ و برگ ها، مشتقات دروغ، گروه های دروغ، جبرهای دروغ، و موارد دیگر. این رویکرد تا حد ممکن ملموس است، با تصاویر و بحث‌های شهودی در مورد اینکه چگونه باید به صورت هندسی درباره مفاهیم انتزاعی فکر کرد و در عین حال از ابزارهای قدرتمندی که ریاضیات مدرن ارائه می‌کند به طور کامل استفاده کرد.

این ویرایش دوم به طور گسترده اصلاح و روشن شده است و موضوعات به طور قابل توجهی بازآرایی شده است. این کتاب اکنون دو ابزار تحلیلی مهم یعنی قضیه رتبه و قضیه بنیادی در جریان را خیلی زودتر معرفی می کند تا بتوان از آنها در سراسر کتاب استفاده کرد. چند موضوع جدید اضافه شده است، به ویژه قضیه سارد و عرضی بودن، اثباتی بر این که اقدامات گروهی Lie بینهایت کوچک، کنش های گروهی جهانی ایجاد می کنند، مطالعه دقیق تر معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه اول، درمان مختصری از نظریه درجه برای نقشه های صاف بین منیفولدهای فشرده. و مقدمه‌ای بر ساختارهای تماسی.

پیش‌نیازها عبارتند از آشنایی کامل با توپولوژی عمومی، گروه بنیادی و فضاهای پوششی، و همچنین جبر خطی مقدماتی مقطع کارشناسی و تحلیل واقعی.

This book is an introductory graduate-level textbook on the theory of smooth manifolds. Its goal is to familiarize students with the tools they will need in order to use manifolds in mathematical or scientific research--- smooth structures, tangent vectors and covectors, vector bundles, immersed and embedded submanifolds, tensors, differential forms, de Rham cohomology, vector fields, flows, foliations, Lie derivatives, Lie groups, Lie algebras, and more. The approach is as concrete as possible, with pictures and intuitive discussions of how one should think geometrically about the abstract concepts, while making full use of the powerful tools that modern mathematics has to offer.

This second edition has been extensively revised and clarified, and the topics have been substantially rearranged. The book now introduces the two most important analytic tools, the rank theorem and the fundamental theorem on flows, much earlier so that they can be used throughout the book. A few new topics have been added, notably Sard’s theorem and transversality, a proof that infinitesimal Lie group actions generate global group actions, a more thorough study of first-order partial differential equations, a brief treatment of degree theory for smooth maps between compact manifolds, and an introduction to contact structures.

Prerequisites include a solid acquaintance with general topology, the fundamental group, and covering spaces, as well as basic undergraduate linear algebra and real analysis.