Introduction to modern analysis

Contents......Page 10
1.1 Measurable sets and functions......Page 14
1.2 Positive measures......Page 20
1.3 Integration of non-negative measurable functions......Page 22
1.4 Integrable functions......Page 28
1.5 L[sup(p)]-spaces......Page 35
1.6 Inner product......Page 42
1.7 Hilbert space: a first look......Page 45
1.8 The Lebesgue–Radon–Nikodym theorem......Page 47
1.9 Complex measures......Page 52
1.10 Convergence......Page 59
1.11 Convergence on finite measure space......Page 62
1.12 Distribution function......Page 63
1.13 Truncation......Page 65
Exercises......Page 67
2.1 Semi-algebras......Page 70
2.2 Outer measures......Page 72
2.3 Extension of measures on algebras......Page 75
2.4 Structure of measurable sets......Page 76
2.5 Construction of Lebesgue–Stieltjes measures......Page 77
2.6 Riemann versus Lebesgue......Page 80
2.7 Product measure......Page 82
Exercises......Page 86
3.1 Partition of unity......Page 90
3.2 Positive linear functionals......Page 92
3.3 The Riesz–Markov representation theorem......Page 100
3.4 Lusin’s theorem......Page 102
3.5 The support of a measure......Page 105
3.6 Measures on R[sup(k)]; differentiability......Page 106
Exercises......Page 110
4.1 Linear maps......Page 115
4.2 The conjugates of Lebesgue spaces......Page 117
4.3 The conjugate of C[sub(c)](X)......Page 122
4.4 The Riesz representation theorem......Page 124
4.5 Haar measure......Page 126
Exercises......Page 134
5.1 The Hahn–Banach theorem......Page 136
5.2 Reflexivity......Page 140
5.3 Separation......Page 143
5.4 Topological vector spaces......Page 146
5.5 Weak topologies......Page 148
5.6 Extremal points......Page 152
5.7 The Stone–Weierstrass theorem......Page 156
5.8 Operators between Lebesgue spaces: Marcinkiewicz’s interpolation theorem......Page 158
Exercises......Page 163
6.1 Category......Page 166
6.2 The uniform boundedness theorem......Page 167
6.3 The open mapping theorem......Page 169
6.4 Graphs......Page 172
6.5 Quotient space......Page 173
6.6 Operator topologies......Page 174
Exercises......Page 177
7.1 Basics......Page 183
7.2 Commutative Banach algebras......Page 191
7.3 Involution......Page 194
7.4 Normal elements......Page 196
7.5 General B[sup(*)]-algebras......Page 198
7.6 The Gelfand–Naimark–Segal construction......Page 203
Exercises......Page 208
8.1 Orthonormal sets......Page 216
8.2 Projections......Page 219
8.3 Orthonormal bases......Page 221
8.4 Hilbert dimension......Page 224
8.5 Isomorphism of Hilbert spaces......Page 225
8.6 Canonical model......Page 226
8.7 Commutants......Page 227
Exercises......Page 228
9.1 Spectral measure on a Banach subspace......Page 236
9.2 Integration......Page 237
9.3 Case Z = X......Page 239
9.4 The spectral theorem for normal operators......Page 242
9.5 Parts of the spectrum......Page 244
9.6 Spectral representation......Page 246
9.7 Renorming method......Page 248
9.8 Semi-simplicity space......Page 250
9.9 Resolution of the identity on Z......Page 252
9.10 Analytic operational calculus......Page 256
9.11 Isolated points of the spectrum......Page 259
9.12 Compact operators......Page 261
Exercises......Page 265
10.1 Basics......Page 271
10.2 The Hilbert adjoint......Page 274
10.3 The spectral theorem for unbounded selfadjoint operators......Page 277
10.4 The operational calculus for unbounded selfadjoint operators......Page 278
10.5 The semi-simplicity space for unbounded operators in Banach space......Page 280
10.6 Symmetric operators in Hilbert space......Page 284
Exercises......Page 288
I.1 Heuristics......Page 296
I.2 Probability space......Page 298
I.3 Probability distributions......Page 311
I.4 Characteristic functions......Page 320
I.5 Vector-valued random variables......Page 328
I.6 Estimation and decision......Page 337
I.7 Conditional probability......Page 349
I.8 Series of L[sup(2)] random variables......Page 362
I.9 Infinite divisibility......Page 368
I.10 More on sequences of random variables......Page 372
II.1 Preliminaries......Page 377
II.2 Distributions......Page 379
II.3 Temperate distributions......Page 389
II.4 Fundamental solutions......Page 405
II.5 Solution in ε\'......Page 409
II.6 Regularity of solutions......Page 411
II.7 Variable coefficients......Page 413
II.8 Convolution operators......Page 417
II.9 Some holomorphic semigroups......Page 428
Bibliography......Page 434
B......Page 438
C......Page 439
E......Page 440
H......Page 441
L......Page 442
M......Page 443
R......Page 444
S......Page 445
U......Page 446
Z......Page 447