Introduction to Infinite Dimensional Stochastic Analysis

تحلیل ابعاد نامتناهی به عنوان شاخه ای از علوم ریاضی در اواخر قرن 19 و اوایل قرن 20 شکل گرفت. با انگیزه مشکلات در فیزیک ریاضی، اولین گام ها در این زمینه توسط V. Volterra، R. GateallX، P. Levy و M. Frechet، در میان دیگران برداشته شد (به مقدمه Levy [2] مراجعه کنید). با این وجود، پربارترین جهت در این زمینه، نظریه ادغام ابعادی نامتناهی است که توسط N. Wiener و A. N. Kolmogorov آغاز شده است که ارتباط نزدیکی با تحولات نظریه فرآیندهای تصادفی دارد. این وینر بود که برای اولین بار در سال 1923 یک اندازه گیری احتمال بر روی فضای همه توابع پیوسته (مثلاً اندازه گیری وینر) ساخت که یک مدل ریاضی ایده آل برای حرکت براونی ارائه کرد. سپس برخی از ویژگی‌های مهم انتگرال‌های وینر، به‌ویژه شبه تغییرناپذیری معیارهای گاوسی، توسط R. Cameron و W. Martin [l, 2, 3] کشف شد. در سال 1931، کولموگروف[l] دومین معادله دیفرانسیل جزئی را برای احتمالات انتقالی ترتیب فرآیندهای مارکوف با مسیرهای پیوسته (یعنی فرآیندهای انتشار) استنباط کرد و بنابراین ارتباط عمیق بین نظریه‌های معادلات دیفرانسیل و فرآیندهای تصادفی را آشکار کرد. تجزیه و تحلیل تصادفی ایجاد شده توسط K. Ito (همچنین به طور مستقل توسط Gihman [1]) در دهه چهل اساساً یک تحلیل بی نهایت کوچک برای مسیرهای فرآیندهای تصادفی است. با استفاده از معادلات دیفرانسیل تصادفی Ito می توان فرآیندهای انتشار را از طریق روش های احتمالی مستقیم ساخت و آنها را به عنوان تابعی از مسیرهای براونی (به عنوان مثال تابع های وینر) در نظر گرفت.

The infinite dimensional analysis as a branch of mathematical sciences was formed in the late 19th and early 20th centuries. Motivated by problems in mathematical physics, the first steps in this field were taken by V. Volterra, R. GateallX, P. Levy and M. Frechet, among others (see the preface to Levy[2]). Nevertheless, the most fruitful direction in this field is the infinite dimensional integration theory initiated by N. Wiener and A. N. Kolmogorov which is closely related to the developments of the theory of stochastic processes. It was Wiener who constructed for the first time in 1923 a probability measure on the space of all continuous functions (i. e. the Wiener measure) which provided an ideal math­ ematical model for Brownian motion. Then some important properties of Wiener integrals, especially the quasi-invariance of Gaussian measures, were discovered by R. Cameron and W. Martin[l, 2, 3]. In 1931, Kolmogorov[l] deduced a second partial differential equation for transition probabilities of Markov processes order with continuous trajectories (i. e. diffusion processes) and thus revealed the deep connection between theories of differential equations and stochastic processes. The stochastic analysis created by K. Ito (also independently by Gihman [1]) in the forties is essentially an infinitesimal analysis for trajectories of stochastic processes. By virtue of Ito's stochastic differential equations one can construct diffusion processes via direct probabilistic methods and treat them as function­ als of Brownian paths (i. e. the Wiener functionals).