Introduction to Complex Hyperbolic Spaces

از زمان ظهور کتاب کوبایاشی، چندین نتیجه در سطح پایه فضاهای هذلولی وجود داشته است، به عنوان مثال قضیه برودی، و نتایج گرین، کایرنان، کوبایاشی، نوگوچی و غیره که ارزش داشتن یک سیستماتیک را دارد. نمایشگاه اگرچه به ناچار برخی از قضایای کوبایاشی را دوباره تولید می‌کنم، اما با در نظر گرفتن کاربردهای متفاوت، جهتی متفاوت را در پیش می‌گیرم، بنابراین کتاب حاضر به خوبی از کوبایاشی نمی‌کاهد. علاقه من به این موضوعات ناشی از روابط آنها با هندسه تین دیوفان است. در واقع، اگر X یک تنوع تصویری بر روی اعداد مختلط باشد، آنگاه حدس می‌زنم که X هذلولی است اگر و فقط اگر X فقط تعداد محدودی از نقاط گویا در هر میدان متناهی تولید شده روی اعداد گویا داشته باشد. همچنین تعدادی از حدس های فرعی مربوط به این مورد وجود دارد. این حدس ها کیفی هستند. وویتا با ربط دادن قضیه اصلی دوم نظریه لینا نوان به نظریه ارتفاعات حدس های کمی زده است و حدس هایی را برای ارتفاعات ناشی از نابرابری های مربوط به تقریب های دیوفانتین و دلالت بر حدس های کلاسیک و مدرن حدس زده است. نوگوچی پس از خطی که توسط Grauert و Grauert-Reckziegel آغاز شد و توسط مقاله اخیر Riebesehl ادامه یافت، به پرونده فیلد تابع نگاه کرده و پیشرفت قابل توجهی داشته است. این کتاب به سه بخش اصلی تقسیم شده است: نظریه تحلیلی پیچیده پایه، جنبه های هندسی دیفرانسیل، و نظریه نوانلینا. چندین فصل از این کتاب از نظر منطقی مستقل از یکدیگر هستند.

Since the appearance of Kobayashi's book, there have been several re­ sults at the basic level of hyperbolic spaces, for instance Brody's theorem, and results of Green, Kiernan, Kobayashi, Noguchi, etc. which make it worthwhile to have a systematic exposition. Although of necessity I re­ produce some theorems from Kobayashi, I take a different direction, with different applications in mind, so the present book does not super­ sede Kobayashi's. My interest in these matters stems from their relations with diophan­ tine geometry. Indeed, if X is a projective variety over the complex numbers, then I conjecture that X is hyperbolic if and only if X has only a finite number of rational points in every finitely generated field over the rational numbers. There are also a number of subsidiary conjectures related to this one. These conjectures are qualitative. Vojta has made quantitative conjectures by relating the Second Main Theorem of Nevan­ linna theory to the theory of heights, and he has conjectured bounds on heights stemming from inequalities having to do with diophantine approximations and implying both classical and modern conjectures. Noguchi has looked at the function field case and made substantial progress, after the line started by Grauert and Grauert-Reckziegel and continued by a recent paper of Riebesehl. The book is divided into three main parts: the basic complex analytic theory, differential geometric aspects, and Nevanlinna theory. Several chapters of this book are logically independent of each other.