Introduction to Affine Group Schemes

آه عشق! آیا من و شما می‌توانیم با او مشورت کنیم تا این طرح متأسفانه را در کل خیام درک کنیم. بنابراین اولین هدف من این بود که سه دیدگاه مختلف را در نظر بگیرم و نشان دهم که چگونه آنها بینش شهودی تکمیلی را در مورد موضوع ارائه می دهند. در قسمت اول با یک ایده کارکردی شروع می‌کنیم و در مورد برخی فرآیندهای آشنا برای ساخت گروه‌ها بحث می‌کنیم. به نظر می رسد که اینها معادل اشیاء تئوری حلقه ای به نام جبرهای Hopf هستند، که سپس می توانیم با آنها مثال های جدیدی بسازیم. مطالعه نمایش آنها نشان می دهد که آنها ارتباط نزدیکی با گروه های ماتریس دارند و مجموعه های بسته در فضای ماتریس تصویر هندسی برخی از اشیاء درگیر را به ما می دهند. این تداخل روش ها همچنان ادامه می یابد که ما به نتایج خاص روی می آوریم. در بخش دوم، یک ایده هندسی (ارتباط) و یک ایده از نظریه ماتریس کلاسیک (تجزیه اردن) با مطالعه جبرهای قابل جداسازی ترکیب می‌شوند. در بخش سوم، مفهوم دیفرانسیل که توسط نظریه گروه‌های دروغ برانگیخته می‌شود، برای اثبات عدم وجود قدرت‌های صفر در برخی جبرهای Hopf استفاده می‌شود. کار تئوری حلقه بر روی صافی وفادار در بخش چهارم معلوم می شود که توضیح درستی را برای رفتار تابع های گروه ضریب ارائه می دهد. در نهایت، این ماده با سایر بخش‌های جبر در قسمت V مرتبط می‌شود، که نشان می‌دهد چگونه اشکال پیچ خورده هر ساختار جبری توسط طرح گروهی خودمورفیسم آن اداره می‌شوند.

Ah Love! Could you and I with Him consl?ire To grasp this sorry Scheme of things entIre' KHAYYAM People investigating algebraic groups have studied the same objects in many different guises. My first goal thus has been to take three different viewpoints and demonstrate how they offer complementary intuitive insight into the subject. In Part I we begin with a functorial idea, discussing some familiar processes for constructing groups. These turn out to be equivalent to the ring-theoretic objects called Hopf algebras, with which we can then con­ struct new examples. Study of their representations shows that they are closely related to groups of matrices, and closed sets in matrix space give us a geometric picture of some of the objects involved. This interplay of methods continues as we turn to specific results. In Part II, a geometric idea (connectedness) and one from classical matrix theory (Jordan decomposition) blend with the study of separable algebras. In Part III, a notion of differential prompted by the theory of Lie groups is used to prove the absence of nilpotents in certain Hopf algebras. The ring-theoretic work on faithful flatness in Part IV turns out to give the true explanation for the behavior of quotient group functors. Finally, the material is connected with other parts of algebra in Part V, which shows how twisted forms of any algebraic structure are governed by its automorphism group scheme.