Introdução à Teoria das Probabilidades

ÍNDICE

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS. .... 1
1.1 - Conjuntos ................................................... 1
1.2 - Operações com conjuntos ......................... 2
1.3 - Limites e Indicadores ................................. 5
1.4 - Funções ..................................................... 7

CAPÍTULO 2 - ANÁLISE COMBINATÓRIA
 2.1 - Elementos básicos ..................................... 10
 2.2 - Arranjos com repetição, de n elementos, tomados m a m 
(ou amostras ordenadas de tamanho m com reposição) .................................. 10
 2.3 - Arranjos de n elementos tomados q a m
 (ou amostras ordenados de tamanho m, sea reposição) ..................................... 11
 2.4 - Permutações de n ................................. 11
 2.5 - Combinações de n elementos tomados m a m 
(ou amostras não ordenadas de tamanho m, sem reposição)................................. 11
 2.6 - Combinações com repetição 
(ou amostras não ordenadas de tamanho m, com reposição) .................................. 13
 2.7 - Permutações com repetição ..................................... 13
 2.8 - Números combinatórios .................................... 15
 2.9 - Aplicações ................................. 16
2.10 - Fórmula de Stirling ................................... 20

CAPÍTULO 3 - MODELOS PROBABILÍSTICOS .,................................... 25
 3.1 - Experimentos Determinísticos e Aleatórios... 25
 3.2 - O Espaço Amostral ..................................... 26
 3.3 - Espaços de Probabilidades ...................................... 29
 3.4 - Construção de Probabilidades .................................... 34
 3.5 - Falácias em Problemas Combinatórios .................................... 43

CAPÍTULO 4- INDEPENDÊNCIA 
 4.1 - Probabilidade Condicional ..................................... 48
 4.2 - Teorema de Bayes .................................................................... 48
 4.3 - Independência ..................................... 51
 4.4 - Modelos produto ........................................................ 55
 4.5 - Independência a Pares o Independência .................................... 60
 4.6 - Árvores ........................................................ 61

CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ...................................... 72
 5.1 - Introdução .......................................................................... 72
 5.2 - Exemplos ........................................................................ 74
 5.3 - Variáveis Aleatórias Simples .................................... 79
 5.4 - Variáveis Aleatórias Independentes ..................................... 80
 5.5 - Convergência de variáveis aleatórias .................................... 83

CAPÍTULO 6 - ESPERANÇA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS REAIS 87
 6.1 - Definição e propriedades básicas ...................................... 87
 6.2 - Exemplos ........................................................................ 92
 6.3 - Funções de Variáveis Aleatórias Momentos............................................ 93
 6.4 - Exemplos ......................................... 99
 6.5 - A Desigualdade de Markov ...................................... 101
 6.6 - Aplicação ao Teorema de Weierstrass .......................................... 104

CAPÍTULO 7 - VETORES ALEATÓRIOS .......................................... 108
 7.1 - Propriedades básicas ........................................... 108
 7.2 - Distribuição conjunta de variáveis aleatórias independentes........................ 111
 7.3 - Distribuições condicionais ......................................... 111
 7.4 - Esperança condicional .............................................. 113
 7.5 - Predição linear .......................................................... 120
 7.6 - Independência de Vetores aleatórios .............................................. 120
 7.7 - Mais sobre as distribuições de Poisson e Binomial ............................................... 126

CAPITULO 8 - INTRODUÇÃO AO TEOREMA CENTRAL DO LIMITE .............................................. 131
 8.1 - A distribuição normal .................................................. 131
 8.2 - Convergência em distribuição ............................................... 134

CAPÍTULO 9 - INTRODUÇÃO AO PASSEIO AD ACASO ................................................ 145
 9.1 - Notação e propriedades básicas ................................................ 145
 9.2 - Passeio ao acaso simétrico ,.............................................. 151
 9.3 - Uma introdução informal à lei do arco seno 155

ANEXO 1 - ALGUNS RESULTADOS SOBRE SERIES NUMÉRICAS 159
ANEXO 2 .................................................... 163
REFERÊNCIAS ................................................ 167
TABELA Nº 1 .............................................. 169
TABELA Nº 2 .............................................. 170
TABELA Nº 3 .............................................. 171
NOTAS AOS CAPÍTULOS ............................................... 173
SOLUÇÕES E RESPOSTAS PARA ALGUNS EXERCÍCIO..............................................  193