Integralgleichungen: Theorie und Numerik

معادلات انتگرال میدانی را نشان می‌دهند که کاملاً مستقل و بر اساس ترکیب جالبی از تحلیل است. نظریه توابع و تحلیل عملکردی مبتنی است. از سوی دیگر، معادلات انتگرال علاقه عملی خود را از «روش معادلات انتگرال» به دست می آورند. که اجازه می دهد معادلات دیفرانسیل جزئی به معادلات انتگرال تبدیل شوند. این کتاب از سخنرانی‌هایی که نویسنده در دانشگاه روهر در بوخوم و دانشگاه مسیحی آلبرشتز در کیل برگزار کرد، پدید آمد. محدوده فصل های 1 تا 6 تقریباً با یک سخنرانی فشرده چهار ساعته مطابقت دارد. مطالعه معادلات انتگرال را می توان با دانش قبلی تحلیل و مبانی اعداد آغاز کرد. دانش تحلیل عملکردی مفید است. اما اگر مفاهیم اساسی مانند فضاهای Banach و Hilbert آشنا باشند ضروری نیست. بخش نظری این کتاب تا حد امکان مختصر طراحی شده است. از آنجایی که اعداد در فصل های 2، 4، 5 باید در پیش زمینه باشد. بخش‌های مهم تحلیل عملکردی مورد نیاز مانند نظریه Riesz-Schauder بدون اشتقاق ارائه شده‌اند. فرض شده که. که خواننده یا از طریق سخنرانی در مورد "تحلیل کارکردی" با این حوزه آشنا می شود یا - با افزایش انگیزه از طریق مثال های عملی - از طریق سخنرانی یا مطالب خواندنی به این فصل ها می رسد. ارزش یادآوری را دارد. که از نظر تاریخی نیز تحلیل تابعی از بحث معادلات انتگرال پدید آمده است. در این نمایش، توابع کلاسیک پیوسته یا پیوسته نگهدارنده عمدتاً به عنوان فضاهای تابع استفاده می شوند. از فضاهای Sobolev تا حد زیادی اجتناب می شود. که مثلاً مستلزم آن است. که عملگرهای انتگرال را نمی توان در اینجا به طور کلی به عنوان عملگرهای شبه دیفرانسیل مورد بحث قرار داد.

Die Integralgleichungen stellen ein Gebiet dar. das für sich durchaus selbständig ist und auf einer interessanten Mischung von Analysis. Funktionentheorie und Funktionalanalysis beruht. Auf der anderen Seite gewinnen die Integralgleichungen ihr praktisches Interesse aus der «Integralgleichungsmethode». die es erlaubt, partielle Differential­ gleichungen in Integralgleichungen umzuformen. Das Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die der Autor an der Ruhr-Universität Bochum und der Christian-Albrechts-Universität Kiel gehalten hat. Der Umfang der Kapitel 1 bis 6 entspricht etwa einer intensiven vierstündigen Vorlesung. Das Studium der Integral­ gleichungen kann mit Vorkenntnissen der Analysis und den Grundlagen der Numerik aufgenommen werden. Kenntnisse aus der Funktional­ analysis sind hilfreich. aber nicht unabdingbar, wenn Grundbegriffe wie Banach-und Hilbert-Räume geläufig sind. Der Theorieteil dieses Buches ist so knapp wie möglich bemessen. da die Numerik in den Kapiteln 2. 4, 5 im Vordergrund stehen soll. Wichtige Teile der benötigten Funktionalanalysis wie etwa die Riesz-Schauder-Theorie werden ohne Herleitung wiedergegeben. Es wird dabei davon ausgegangen. daß dem Leser dieses Gebiet entweder aus einer Vorlesung über «Funktionalanalysis» bekannt ist oder daß e- mit gesteigerter Motivation durch praktische Beispiele - diese Kapitel durch Vorlesungen oder Lektüre nachholen wird. Es sei daran erinnert. daß auch historisch die Funktionalanalysis aus der Diskussion der Integralgleichungen hervorgegangen ist. Als Funktionenräume werden in dieser Darstellung vornehmlich die klassischen der stetigen oder Hölder-stetigen Funktionen verwendet. Die Sobolev-Räume werden weitgehend vermieden. was zum Beispiel zur Folge hat. daß die Integraloperatoren hier nicht in der erforderlichen Allgemeinheit als Pseudodifferentialoperatoren diskutiert werden können.