Integer partitions: Rogers-Ramanujan type identities and asymptotics

I. Introduction and preliminaries 1
1. Introduction (fran¸cais) 2
1.1. Etat de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2
1.1.1. Les d´ebuts de la th´eorie des partitions . . . . . . . . . . 2
1.1.2. S´eries g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Identit´es de partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5. Asymptotique et la m´ethode du cercle de Hardy-Ramanujan 15
1.1.6. Les surpartitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Contributions de cette th`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1. Identit´es de partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1.1. Le th´eor`eme de Schur . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1.2. Les th´eor`emes d’Andrews . . . . . . . . . . . . 24
1.2.1.3. L’identit´e de Siladi´c . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.2. Asymptotique et m´ethode du cercle `a deux variables . . 28
1.2.2.1. Surpartitions avec diff´erences impaires restreintes 29
1.2.2.2. La m´ethode du cercle `a deux variables . . . . . 31
1.2.3. Une extension des coefficients q-binomiaux . . . . . . . 33
2. Introduction (English) 36
2.1. State of the art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1. The beginnings of the theory of partitions . . . . . . . . 36
2.1.2. Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.3. Partition identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.4. Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.5. Asymptotics and the Hardy-Ramanujan circle method . 49
2.1.6. Overpartitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2. Contributions of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1. Partition identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1.1. Schur’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1.2. Andrews’ theorems . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1.3. Siladi´c’s identity . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.2. Asymptotics and the two-variable circle method . . . . 61
2.2.2.1. Overpartitions with restricted odd differences . 61
2.2.2.2. The two-variable circle method . . . . . . . . . 63
2.2.3. An extension of q-binomial coefficients . . . . . . . . . . 65
3. Preliminaries 68
3.1. Partitions and generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2. Gaussian polynomials (q-binomial coefficients) . . . . . . . . . . 71
3.3. Modular forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1. Basic facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2. Dedekind’s η function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4. Mock theta functions and mock modular forms . . . . . . . . . 80
3.4.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
II. Partition identities 83
4. Schur’s theorem 84
4.1. Proofs using recurrences based on the largest part . . . . . . . 84
4.1.1. Andrews’ proof of Schur’s theorem . . . . . . . . . . . . 84
4.1.2. Proof of Schur’s theorem for overpartitions . . . . . . . 87
4.2. Proofs using recurrences based on the smallest part . . . . . . . 92
4.2.1. Andrews’ proof of Schur’s theorem . . . . . . . . . . . . 92
4.2.2. Proof of Schur’s theorem for overpartitions . . . . . . . 94
4.3. Proofs based on the largest part and parts counted twice . . . . 98
4.3.1. Andrews’ proof of Schur’s theorem . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2. Proof of Schur’s theorem for overpartitions . . . . . . . 100
5. Generalisation of a theorem of Andrews 105
5.1. Andrews’ first generalisation of Schur’s theorem . . . . . . . . . 105
5.1.1. Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.2. Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2. A generalisation of Andrews’ theorem to overpartitions . . . . . 111
5.2.1. Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.2. The q-difference equation satisfied by the generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.3. Evaluating fa(1)(1) by induction . . . . . . . . . . . . . 121
6. Generalisation of a second theorem of Andrews 136
6.1. Andrews’ second generalisation of Schur’s theorem . . . . . . . 136
6.1.1. Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.1.2. Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2. A generalisation of Andrews’ second theorem to overpartitions 141
6.2.1. Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.2. The recurrence equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2.3. Evaluating lim
`→∞
u` by induction . . . . . . . . . . . . . . 146
7. Siladi´c’s identity 162
7.1. Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.2. Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.1. Reformulating the problem . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.2. Obtaining q-difference equations . . . . . . . . . . . . . 165
7.2.3. The induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2.3.1. Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2.3.2. First case: m ≡ 0 mod 4 . . . . . . . . . . . . 168
7.2.3.3. Second case: m ≡ 1 mod 4 . . . . . . . . . . . 169
7.2.3.4. Third case: m ≡ 2 mod 4 . . . . . . . . . . . 171
7.2.3.5. Fourth case: m ≡ 3 mod 4 . . . . . . . . . . . 173
7.2.4. Final argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
III. Asymptotics 176
8. The Hardy-Ramanujan-Rademacher circle method 177
8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.2. A transformation formula for P(q) . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.3. An expression of p(n) as an integral on a circle . . . . . . . . . 180
8.4. Σ2 is negligible compared to Σ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.5. Estimating Σ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.6. An expression for ψk(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.6.1. An expression for Lk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.6.2. An expression for Hk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.6.3. Final expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9. Wright’s circle method 193
9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.2. Asymptotic behaviour of P(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.2.1. Close to the dominant pole . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.2.2. Far from the dominant pole . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.3. The circle method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3.1. The main arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3.2. The error arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.Overpartitions with restricted odd differences 201
10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.2. Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.3. Wright’s Circle Method and the proof of Theorem 10.1 . . . . . 207
10.3.1. Asymptotic behaviour of f1(q) . . . . . . . . . . . . . . 207
10.3.1.1. Close to the dominant pole q = 1 . . . . . . . . 207
10.3.1.2. Far from the dominant pole . . . . . . . . . . . 209
10.3.2. Wright’s Circle Method and the asymptotic formula for
s(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.3.3. Asymptotic behaviour of f2(q) . . . . . . . . . . . . . . 212
10.3.3.1. Close to the dominant pole q = −1 . . . . . . . 212
10.3.3.2. Far from the dominant pole . . . . . . . . . . . 213
10.3.4. Wright’s Circle Method and the asymptotic formula for
t+(n) − t−(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
11.The two-variable circle method: general principle 216
11.1. Jacobi forms and mock Jacobi forms . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.1.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.1.2. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.2. The idea behind the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.Asymptotics for the crank 222
12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.2. Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.2.1. Modularity of the generating functions . . . . . . . . . . 224
12.2.2. Euler polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.3. Asymptotic behaviour of the function Ck. . . . . . . . . . . . . 227
12.3.1. Bounds near the dominant pole . . . . . . . . . . . . . . 228
12.3.2. Bounds away from the dominant pole . . . . . . . . . . 234
12.4. The Circle Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
12.4.1. Approximating the main term . . . . . . . . . . . . . . . 236
12.4.2. The error arc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
12.5. Numerical data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
13.Asymptotics for the rank 241
13.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.2. Transformation Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.3. Asymptotic behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.3.1. Bounds near the dominant pole . . . . . . . . . . . . . . 249
13.3.2. Estimates far from the dominant pole . . . . . . . . . . 253
13.4. The Circle Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
IV. An extension of q-binomial coefficients 257
14.An overpartition analogue of the q-binomial coefficients 258
14.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
14.2. Basic Properties of over q-binomial coefficients . . . . . . . . . 259
14.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
14.4. Proof of a Rogers-Ramanujan type identity . . . . . . . . . . . 265
14.5. Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Index 275
Bibliography 276