Inequalities in Mechanics and Physics

1. ما با ارائه یک مثال ساده از یک نابرابری دیفرانسیل جزئی که در یک مسئله فیزیک ابتدایی رخ می دهد، شروع می کنیم. ما سیالی را با فشار u(x, t) در نقطه x در لحظه t در نظر می گیریم که 3 ناحیه Q oflR را اشغال می کند که توسط غشایی r با ضخامت ناچیز محدود شده است که با این حال نیمه تراوا است، i. e.، غشایی که به سیال اجازه می دهد آزادانه وارد Q شود اما از خروج سیال جلوگیری می کند. سپس می توان ثابت کرد (به جزئیات فصل 1، بخش 2.2.1 مراجعه کنید) که au (aZu azu aZu) (1) در Q, t>o, -a - du = g du = -a z + -a z + - a z t Xl X X3 z l g یک تابع معین، با شرایط مرزی به شکل نامساوی u(X,t»o => au(x,t)/an=O, XEr, (2) u(x,t)=o = > au(x,t)/an?:O, XEr، که شرط اولیه (3) u(x,O)=uo(x) به آن اضافه می شود، توجه می کنیم که شرایط (2) غیر خطی هستند، آنها دلالت می کنند که در هر لحظه ثابت t، روی r دو ناحیه r~ و n وجود دارد که به ترتیب u(x, t) = 0 و au (x, t)/an = 0. این مناطق تجویز نشده اند؛ بنابراین ما با با یک مشکل \"مرز آزاد\".

1. We begin by giving a simple example of a partial differential inequality that occurs in an elementary physics problem. We consider a fluid with pressure u(x, t) at the point x at the instant t that 3 occupies a region Q oflR bounded by a membrane r of negligible thickness that, however, is semi-permeable, i. e., a membrane that permits the fluid to enter Q freely but that prevents all outflow of fluid. One can prove then (cf. the details in Chapter 1, Section 2.2.1) that au (aZu azu aZu) (1) in Q, t>o, -a - du = g du = -a z + -a z + -a z t Xl X X3 z l g a given function, with boundary conditions in the form of inequalities u(X,t»o => au(x,t)/an=O, XEr, (2) u(x,t)=o => au(x,t)/an?:O, XEr, to which is added the initial condition (3) u(x,O)=uo(x). We note that conditions (2) are non linear; they imply that, at each fixed instant t, there exist on r two regions r~ and n where u(x, t) =0 and au (x, t)/an = 0, respectively. These regions are not prescribed; thus we deal with a "free boundary" problem.