Implementation of Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations

در تجزیه و تحلیل مکانیک سازه، روش‌های اجزای محدود اکنون تکنیک‌هایی به خوبی تثبیت شده و به خوبی مستند شده‌اند. مزیت آنها در انعطاف پذیری بالاتر نهفته است، به ویژه برای: (i) نمایش مرزهای پیچیده دلخواه. (ب) قوانین سیستماتیک برای توسعه طرح‌های عددی پایدار با تقریب مسائل ریاضی با انواع مختلف شرایط مرزی. از سوی دیگر، در مقایسه با روش‌های تفاضل محدود، این انعطاف‌پذیری توسط: افزایش پیچیدگی برنامه‌نویسی تامین می‌شود. نیاز به ذخیره سازی اضافی کاربرد روش‌های اجزا محدود در مکانیک سیالات به دلایل مختلف عقب مانده است و نسبتاً جدید است: (1) دلایل تاریخی: روش‌های اولیه توسط مهندسان برای تجزیه و تحلیل پیچش، تغییر شکل خمشی خرس‌ها، صفحات، پوسته‌ها ابداع شد. و غیره... (نگاه کنید به تاریخچه در Strang and Fix (1972) یا Zienckiewicz (1977). (2) دلایل فنی: مشکلات جریان سیال مشکلات خاصی را ایجاد می کند: برای مثال، گرادیان های قوی، l از سرعت یا دما، ممکن است رخ دهد که ممکن است رخ دهد. یک مش محدود نمی تواند به درستی نمایش دهد؛ یک راه حل در طرح های مختلف المان محدود در جهت مخالف نهفته است که اخیراً ظاهر شده اند و در فصل 2 مورد بررسی قرار گرفته اند (با این حال تأثیر آنها به اندازه تفاوت های محدود بحث برانگیز است). سپس، امواج می توانند منتشر شوند. (به عنوان مثال در دینامیک اقیانوس با معادلات آب های کم عمق) که به طور کاذب توسط یک شبکه غیر منظم محدود تحریف می شود، همانطور که کریس (1979) اشاره کرد. سیالات چسبناک، نیوتنی، یعنی توسط معادلات N avier Stokes اداره می شود.

In structure mechanics analysis, finite element methods are now well estab­ lished and well documented techniques; their advantage lies in a higher flexibility, in particular for: (i) The representation of arbitrary complicated boundaries; (ii) Systematic rules for the developments of stable numerical schemes ap­ proximating mathematically wellposed problems, with various types of boundary conditions. On the other hand, compared to finite difference methods, this flexibility is paid by: an increased programming complexity; additional storage require­ ment. The application of finite element methods to fluid mechanics has been lagging behind and is relatively recent for several types of reasons: (i) Historical reasons: the early methods were invented by engineers for the analysis of torsion, flexion deformation of bearns, plates, shells, etc ... (see the historics in Strang and Fix (1972) or Zienckiewicz (1977». (ii) Technical reasons: fluid flow problems present specific difficulties: strong gradients,l of the velocity or temperature for instance, may occur which a finite mesh is unable to properly represent; a remedy lies in the various upwind finite element schemes which recently turned up, and which are reviewed in chapter 2 (yet their effect is just as controversial as in finite differences). Next, waves can propagate (e.g. in ocean dynamics with shallowwaters equations) which will be falsely distorted by a finite non regular mesh, as Kreiss (1979) pointed out. We are concerned in this course with the approximation of incompressible, viscous, Newtonian fluids, i.e. governed by N avier Stokes equations.