Hyperbolic Triangle Centers: The Special Relativistic Approach

پس از اینکه A. Ungar جبر برداری و مختصات دکارتی را به همراه کاربردهای جدید در نظریه نسبیت خاص انیشتین در کتاب های قبلی خود به هندسه هذلولی معرفی کرد، هدف کتاب جدید او معرفی مختصات باریسنتریک هذلولی است که مفهوم مهم دیگری است. هندسه اقلیدسی را در هندسه هذلولی جاسازی کنید. نشان داده خواهد شد که، در قیاس کامل با مکانیک کلاسیک که در آن مختصات باری مرکزی با جرم نیوتنی مرتبط است، مختصات باری مرکزی به جرم نسبیتی اینشتین در هندسه هذلولی مرتبط است. بر خلاف تصور عمومی، جرم نسبیتی انیشتین به طرز فوق‌العاده‌ای با فرمالیسم چهار برداری نسبیت خاص مینکوفسکی تطابق دارد. در هندسه اقلیدسی می توان از مختصات باری مرکزی برای تعیین مراکز مختلف مثلث استفاده کرد. در حالی که بسیاری از مراکز مثلث اقلیدسی شناخته شده وجود دارد، تنها تعداد کمی از مراکز مثلث هذلولی شناخته شده است، و هیچ یک از مراکز مثلث هذلولی شناخته شده با توجه به رئوس مثلث هذلولی آن به صورت تحلیلی تعیین نشده است. نویسنده در پژوهش اخیر خود زمینه را برای بررسی مراکز مثلث هذلولی از طریق مختصات باریسنتریک هذلولی فراهم کرده است و یکی از اهداف این کتاب آغاز مطالعه مراکز مثلث هذلولی در قیاس کامل با مطالعه غنی مراکز مثلث اقلیدسی است. به دلیل تازگی، این کتاب مخاطبان زیادی را هدف قرار داده است: دانشجویان سطح بالای کارشناسی، دانشجویان کارشناسی ارشد، محققان و دانشگاهیان در هندسه، جبر انتزاعی، فیزیک نظری و نجوم می توانند از آن لذت ببرند. برای مطالعه مثمر ثمر این کتاب، آشنایی با هندسه اقلیدسی فرض شده است. فیزیکدانان ریاضی و فیزیکدانان نظری احتمالاً از مطالعه نسبیت خاص اینشتین از نظر هندسه هذلولی زیربنایی آن لذت خواهند برد. هندسه‌سنج‌ها ممکن است از شکار مراکز مثلث هذلولی جدید لذت ببرند و در نهایت، اخترشناسان ممکن است از مختصات باری مرکزی هذلولی در فضای سرعت کیهان‌شناسی استفاده کنند.

After A. Ungar had introduced vector algebra and Cartesian coordinates into hyperbolic geometry in his earlier books, along with novel applications in Einstein’s special theory of relativity, the purpose of his new book is to introduce hyperbolic barycentric coordinates, another important concept to embed Euclidean geometry into hyperbolic geometry. It will be demonstrated that, in full analogy to classical mechanics where barycentric coordinates are related to the Newtonian mass, barycentric coordinates are related to the Einsteinian relativistic mass in hyperbolic geometry. Contrary to general belief, Einstein’s relativistic mass hence meshes up extraordinarily well with Minkowski’s four-vector formalism of special relativity. In Euclidean geometry, barycentric coordinates can be used to determine various triangle centers. While there are many known Euclidean triangle centers, only few hyperbolic triangle centers are known, and none of the known hyperbolic triangle centers has been determined analytically with respect to its hyperbolic triangle vertices. In his recent research, the author set the ground for investigating hyperbolic triangle centers via hyperbolic barycentric coordinates, and one of the purposes of this book is to initiate a study of hyperbolic triangle centers in full analogy with the rich study of Euclidean triangle centers. Owing to its novelty, the book is aimed at a large audience: it can be enjoyed equally by upper-level undergraduates, graduate students, researchers and academics in geometry, abstract algebra, theoretical physics and astronomy. For a fruitful reading of this book, familiarity with Euclidean geometry is assumed. Mathematical-physicists and theoretical physicists are likely to enjoy the study of Einstein’s special relativity in terms of its underlying hyperbolic geometry. Geometers may enjoy the hunt for new hyperbolic triangle centers and, finally, astronomers may use hyperbolic barycentric coordinates in the velocity space of cosmology.