Hyperbolic Systems with Analytic Coefficients: Well-posedness of the Cauchy Problem

این تک نگاری بر روی درستی مسئله کوشی برای سیستم های هذلولی خطی با ضرایب ماتریس تمرکز دارد. عمدتاً دو سؤال مورد بحث قرار می گیرد:
(الف) مسئله کوشی تحت چه شرایطی در شرایط مرتبه پایین به خوبی مطرح می شود؟
(B) چه زمانی مسئله کوشی به خوبی برای هر عبارت مرتبه پایین مطرح می شود؟
برای اولین بار به ترتیب دو در دو سیستم با دو متغیر مستقل با ضرایب تحلیلی واقعی، پاسخ‌های کاملی را برای هر دو (A) و (B) ارائه می‌کنیم. برای سیستم های مرتبه اول با ضرایب تحلیلی واقعی، ما شرایط عمومی لازم را برای سوال (B) بر حسب جزئی از نمادهای اصلی اثبات می کنیم. با توجه به شرایط کافی برای (B)، ما سیستم‌های هذلولی را با ویژگی‌های غیرمنحط معرفی می‌کنیم، که حاوی سیستم‌های به شدت هذلولی هستند و ثابت می‌کنیم که مشکل کوشی برای سیستم‌های هذلولی با ویژگی‌های غیردژنراتیو به خوبی برای هر عبارت مرتبه پایین‌تری مطرح است. ما همچنین ثابت می‌کنیم که هر سیستم هذلولی که نزدیک به یک سیستم هذلولی با یک مشخصه غیرمنحط چند مرتبه است، دارای یک ویژگی غیرمنحط از همان مرتبه نزدیک است.

This monograph focuses on the well-posedness of the Cauchy problem for linear hyperbolic systems with matrix coefficients. Mainly two questions are discussed:
(A) Under which conditions on lower order terms is the Cauchy problem well posed?
(B) When is the Cauchy problem well posed for any lower order term?
For first order two by two systems with two independent variables with real analytic coefficients, we present complete answers for both (A) and (B). For first order systems with real analytic coefficients we prove general necessary conditions for question (B) in terms of minors of the principal symbols. With regard to sufficient conditions for (B), we introduce hyperbolic systems with nondegenerate characteristics, which contain strictly hyperbolic systems, and prove that the Cauchy problem for hyperbolic systems with nondegenerate characteristics is well posed for any lower order term. We also prove that any hyperbolic system which is close to a hyperbolic system with a nondegenerate characteristic of multiple order has a nondegenerate characteristic of the same order nearby.