Homological Methods, Representation Theory, and Cluster Algebras

این متن شش دوره آموزشی کوچک را ارائه می‌کند که همگی به تعاملات بین تئوری بازنمایی جبرها، جبر همسانی و نظریه جدید همیشه در حال گسترش جبرهای خوشه‌ای اختصاص دارد. تعامل بین موضوعات مورد بحث در این متن به رشد خود ادامه خواهد داد و این مجموعه از دوره ها به عنوان شاهدی جزئی بر این پیشرفت جدید است. این دوره ها برای هر ریاضیدانی که مایل است در مورد این رشته به سرعت در حال توسعه بیشتر بیاموزد مفید است. هدف اصلی جذب دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققان جوان است. پیش نیازها عبارتند از دانش برخی از جبر غیر جابجایی یا جبر همسانی. جبر همسانی همواره به عنوان یکی از ابزارهای اصلی در بررسی جبرهای محدود بُعد مطرح بوده است. رابطه قوی با جبرهای خوشه ای جدیدتر است و به سرعت خود را به عنوان یکی از برجسته های مهم چشم انداز ریاضی امروزی تثبیت کرده است. این ارتباط برای هر دو حوزه مثمر ثمر بوده است - تئوری بازنمایی دسته‌بندی جبرهای خوشه‌ای را ارائه می‌کند، در حالی که مطالعه جبرهای خوشه‌ای نظریه بازنمایی را با موضوعات جدید مطالعه ارائه می‌دهد.

شش دوره آموزشی کوچک شامل این متن ارائه شد. 7 تا 18 مارس 2016 در یک مدرسه تحقیقاتی CIMPA (Centre International de Mathématiques Pures et Appliquées) که در دانشگاه ملی د مار دل پلاتا، آرژانتین برگزار شد. این مدرسه تحقیقاتی به بنیانگذار گروه تحقیقاتی آرژانتینی در نظریه بازنمایی، M.I. Platzeck.

• جبر همسانی پیشرفته
  
• مقدمه ای بر تئوری بازنمایی جبرها
  
• نظریه Auslander-Reiten برای جبرهایی از نوع نمایش نامتناهی
  
• جبرهای خوشه ای که از سطوح به وجود می آیند
  
• Cluster tilted جبر
  
• کاراکترهای خوشه ای
  
• مقدمه ای بر نظریه K
  
• جبرهای گراف برائر و کاربردها در جبرهای خوشه ای< br/>

This text presents six mini-courses, all devoted to interactions between representation theory of algebras, homological algebra, and the new ever-expanding theory of cluster algebras. The interplay between the topics discussed in this text will continue to grow and this collection of courses stands as a partial testimony to this new development. The courses are useful for any mathematician who would like to learn more about this rapidly developing field; the primary aim is to engage graduate students and young researchers. Prerequisites include knowledge of some noncommutative algebra or homological algebra. Homological algebra has always been considered as one of the main tools in the study of finite-dimensional algebras. The strong relationship with cluster algebras is more recent and has quickly established itself as one of the important highlights of today’s mathematical landscape. This connection has been fruitful to both areas—representation theory provides a categorification of cluster algebras, while the study of cluster algebras provides representation theory with new objects of study.

The six mini-courses comprising this text were delivered March 7–18, 2016 at a CIMPA (Centre International de Mathématiques Pures et Appliquées) research school held at the Universidad Nacional de Mar del Plata, Argentina. This research school was dedicated to the founder of the Argentinian research group in representation theory, M.I. Platzeck.

• Advanced homological algebra
  
• Introduction to the representation theory of algebras
  
• Auslander-Reiten theory for algebras of infinite representation type
  
• Cluster algebras arising from surfaces
  
• Cluster tilted algebras
  
• Cluster characters
  
• Introduction to K-theory
  
• Brauer graph algebras and applications to cluster algebras