Homogeneous Spaces and Equivariant Embeddings

فضاهای همگن گروه های جبری خطی در تقاطع هندسه جبری، نظریه گروه های جبری، هندسه نمایشی و شمارشی کلاسیک، تحلیل هارمونیک و نظریه نمایش قرار دارند. بر اساس دلایل استاندارد هندسه جبری، برای حل مسائل مختلف در یک فضای همگن، فشرده سازی آن در حین پیگیری اقدامات گروهی، به عنوان مثال، در نظر گرفتن تکمیل های معادل یا به طور کلی تر، تعبیه های باز از یک فضای داده شده، طبیعی و مفید است. فضای همگن چنین تعبیه های معادل موضوع این کتاب است. ما بر طبقه‌بندی جاسازی‌های معادل بر حسب داده‌های خاصی از ماهیت "ترکیبی" (نظریه لونا وست) و توصیف ویژگی‌های هندسی و تئوری بازنمایی مختلف این گونه‌ها بر اساس این داده‌ها تمرکز می‌کنیم. دسته ای از واریته های کروی که در سه دهه اخیر به شدت مورد مطالعه قرار گرفته اند، در محدوده این کتاب مورد توجه ویژه قرار گرفته اند. انواع کروی شامل بسیاری از نمونه های کلاسیک مانند گراسمانین ها، انواع پرچم، و انواع کوادریک ها و نیز گونه های معروف توریک می باشد. ما سعی کرده‌ایم بیشتر موضوعات مهم را پوشش دهیم، از جمله پیشرفت‌های قابل توجه اخیر در و پیرامون نظریه انواع کروی.

Homogeneous spaces of linear algebraic groups lie at the crossroads of algebraic geometry, theory of algebraic groups, classical projective and enumerative geometry, harmonic analysis, and representation theory. By standard reasons of algebraic geometry, in order to solve various problems on a homogeneous space, it is natural and helpful to compactify it while keeping track of the group action, i.e., to consider equivariant completions or, more generally, open embeddings of a given homogeneous space. Such equivariant embeddings are the subject of this book. We focus on the classification of equivariant embeddings in terms of certain data of "combinatorial" nature (the Luna-Vust theory) and description of various geometric and representation-theoretic properties of these varieties based on these data. The class of spherical varieties, intensively studied during the last three decades, is of special interest in the scope of this book. Spherical varieties include many classical examples, such as Grassmannians, flag varieties, and varieties of quadrics, as well as well-known toric varieties. We have attempted to cover most of the important issues, including the recent substantial progress obtained in and around the theory of spherical varieties.