Hilberttransformation, gebrochene Integration und Differentiation

این تک نگاری به تبدیل هیلبرت یک بعدی و ادغام شکسته در خط اعداد واقعی می پردازد. از آنجایی که بسیاری از اثبات ها به تبدیل فوریه برای توابع Lp (1 ~ P ~ 2) متکی هستند، ما به طور سیستماتیک در فصل 1 هر چیزی را که از نظریه تبدیل فوریه برای توابع یک متغیر مورد نیاز است جمع آوری کرده ایم. علاوه بر این، ما این اختیار را گرفته ایم که ویژگی های شناخته شده تبدیل هیلبرت را بدون اثبات فرض کنیم و موارد کمتر شناخته شده را با جزئیات اثبات کنیم. تمرکز مونوگراف بر فصل های 3-6 است که نتایج آن تا حد زیادی جدید است. از آنجایی که مقدمه مسئله و نتایج را با جزئیات بیشتری توصیف می کند، در این مرحله فقط باید ذکر شود که نقطه شروع ملاحظات ما آثار ریاضیدانان زیر است: S. BOCHNER, J. L. B. Cooper, W. FELLER, GH HARDY, J. E. LITTLEWOOD، G. O. OKIKIOLU، M. RIESZ، E.C. TITCHMARSH، و H. WEYL. این تضمین می کند که نتایج ما طبقه بندی می شوند. تشکر ویژه ما از پروفسور J.L.B. COOPER برای بسیاری از بحث های مفید و توصیه های ارزشمند است. سخنرانی‌های او در کولوکیوم آخن و شرکت در کنفرانسی که توسط اولین نویسنده در مؤسسه تحقیقات ریاضی OBERWOLFACH در اوت 1963 برگزار شد، همیشه هیجان‌انگیز بود. نویسندگان از دکتر تشکر می کنند. E. GÖRLICH و H. JOHNEN برای برخی نظرات انتقادی و برای کمک آنها در بررسی بخش هایی از نسخه خطی و تصحیحات، و همچنین خانم K. REIMER-KELLNER، که نسخه خطی را با دقت زیادی نوشت، و Westdeutscher Verlag برای او ملاقات و کیفیت خوب این تک نگاری.

Diese Monographie behandelt die eindimensionale Hilberttransformation und die ge­ brochene Integration auf der reellen Zahlengeraden. Da sich viele der Beweise auf die Fouriertransformation für Lp-Funktionen (1 ~ P ~ 2) stützen, haben wir in Kapitel 1 alles Nötige aus der Theorie der Fouriertransformation für Funktionen einer Veränder­ lichen systematisch zusammengestellt. Weiterhin haben wir uns erlaubt, die wohl­ bekannten Eigenschaften der Hilberttransformation ohne Beweis vorauszusetzen und weniger bekannte ausführlich zu beweisen. Der Schwerpunkt der Monographie liegt bei den Kapiteln 3-6, deren Ergebnisse zum großen Teil neu sind. Da in der Einleitung über die Problemstellung und über die Resultate näher berichtet wird, sei an dieser Stelle nur erwähnt, daß Ausgangspunkte unserer Überlegungen Arbeiten folgender Mathematiker sind: S. BOCHNER, J. L. B. COOPER, W. FELLER, G. H. HARDY, J. E. LITTLEWOOD, G. O. OKIKIOLU, M. RIESZ, E. C. TITCHMARSH und H. WEYL. Dadurch wird eine Einordnung unserer Ergebnisse gewährleistet. Unser besonderer Dank gilt Herrn Professor J. L. B. COOPER für viele fruchtbare Dis­ kussionen und wertvolle Ratschläge. Seine Vorträge im Aachener Kolloquium und seine Teilnahme an einer Tagung, die der erstgenannte Verfasser im MATHEMATISCHEN FORSCHUNGSINSTITUT OBERWOLFACH im August 1963 abgehalten hat, waren stets an­ regend. Die Verfasser danken den Herrn Dr. E. GÖRLICH und H. JOHNEN für manche kritischen Bemerkungen und für ihre Mithilfe bei der Durchsicht von Teilen des Manuskripts und der Korrekturen, ferner Frl. K. REIMER-KELLNER, die das Manuskript mit großer Sorgfalt geschrieben hat, und dem Westdeutschen Verlag für sein Ent­ gegenkommen und die gute Ausstattung dieser Monographie.