Hilbert’s Program: An Essay on Mathematical Instrumentalism

برنامه هیلبرت با توجه به پدیده پارادوکس در ریاضیات پایه گذاری شد. برای هیلبرت، پارادوکس‌ها، که هم پوچ و هم غیرقابل مقاومت هستند، حقیقت فلسفی عمیقی را آشکار می‌کنند: این که بین قوانینی که ذهن همو ریاضیات بر اساس آن‌ها کار می‌کند، و قوانین حاکم بر واقعیت عینی ریاضی، ناسازگاری وجود دارد. بنابراین، معرفت‌شناسی ریاضی را باید به‌عنوان مبارزه‌ای بین ذهنی که به‌طور طبیعی به گونه‌ای کار می‌کند و واقعیتی که به گونه‌ای دیگر کار می‌کند، تلقی کرد. دانش زمانی اتفاق می افتد که این دو با هم همکاری کنند. با این تصور، دو گزینه اساسی برای معرفت‌شناسی ریاضی وجود دارد: یک موضع شک‌آمیز که معتقد است ذهن و واقعیت به ندرت یا هرگز به توافق نمی‌رسند، یا اینکه ما هیچ راه بسیار قابل اعتمادی برای گفتن آن‌ها نداریم. و یک موضع غیر شک گرا که بر این باور است که توافق قابل توجهی بین ذهن و واقعیت وجود دارد و می توان اختلافات بالقوه آنها را تشخیص داد، از آن اجتناب کرد و در نتیجه کنترل کرد. از بین این دو، هیلبرت به وضوح مورد دوم را پذیرفت و برنامه ای را پیشنهاد کرد که برای اثبات غنای معرفت شناختی ارائه شده توسط روش های طبیعی، اگر غیر تحت اللفظی، تفکر ما طراحی شده بود. از سوی دیگر، بروور موضعی نزدیکتر (به عقیده هیلبرت) به موضع شکاکان را انتخاب کرد. او که تصمیم گرفت خلوص معرفتی فقط از طریق فداکاری حاصل شود، به میراث کلاسیک خود پشت کرد تا دعوتی بالاتر را بپذیرد.

Hilbert's Program was founded on a concern for the phenomenon of paradox in mathematics. To Hilbert, the paradoxes, which are at once both absurd and irresistible, revealed a deep philosophical truth: namely, that there is a discrepancy between the laws accord­ ing to which the mind of homo mathematicus works, and the laws governing objective mathematical fact. Mathematical epistemology is, therefore, to be seen as a struggle between a mind that naturally works in one way and a reality that works in another. Knowledge occurs when the two cooperate. Conceived in this way, there are two basic alternatives for mathematical epistemology: a skeptical position which maintains either that mind and reality seldom or never come to agreement, or that we have no very reliable way of telling when they do; and a non-skeptical position which holds that there is significant agree­ ment between mind and reality, and that their potential discrepan­ cies can be detected, avoided, and thus kept in check. Of these two, Hilbert clearly embraced the latter, and proposed a program designed to vindicate the epistemological riches represented by our natural, if non-literal, ways of thinking. Brouwer, on the other hand, opted for a position closer (in Hilbert's opinion) to that of the skeptic. Having decided that epistemological purity could come only through sacrifice, he turned his back on his classical heritage to accept a higher calling.