Heat Kernels for Elliptic and Sub-elliptic Operators: Methods and Techniques

این تک نگاری ارائه یکپارچه از چندین نظریه در مورد یافتن فرمول های صریح برای هسته های حرارتی برای عملگرهای بیضوی و زیر بیضی است. این هسته‌ها در تئوری عملگرهای سهموی مهم هستند زیرا توزیع گرما را در یک منیفولد معین و همچنین پدیده‌های تکامل و فرآیندهای انتشار را توصیف می‌کنند.

کار به چهار بخش اصلی تقسیم می‌شود: بخش اول هسته گرما را با روش‌های سنتی، مانند روش تبدیل فوریه، انتگرال‌های مسیر، حساب متغیر و بسط مقدار ویژه، بررسی می‌کند. بخش دوم به هسته گرما در گروه های دروغ و nilmanifolds nilpotent Lie می پردازد. بخش سوم کاربردهای حساب دیفرانسیل و انتگرال لاگر را بررسی می کند. بخش چهارم از روش عملگرهای شبه دیفرانسیل برای توصیف هسته های حرارتی استفاده می کند.

موضوعات و ویژگی ها:

•بررسی جامع از نقطه نظر شاخه های متمایز ریاضیات، مانند فرآیندهای تصادفی، هندسه دیفرانسیل، توابع ویژه، مکانیک کوانتومی، و PDE ها؛

• تازگی کار در روش های متنوعی است که برای محاسبه هسته های حرارتی برای عملگرهای بیضوی و زیر بیضی استفاده می شود؛

•اکثر موارد هسته های حرارتی قابل محاسبه با استفاده از توابع ابتدایی در این کار پوشش داده شده است؛

•مواد خودکفایی در مورد فرآیندهای تصادفی و روش های متغیر گنجانده شده است.

هیت هسته های بیضوی و فرعی -Elliptic Operators یک مرجع ایده آل برای دانشجویان فارغ التحصیل، محققان ریاضیات محض و کاربردی و فیزیکدانان نظری است که علاقه مند به درک روش های مختلف نزدیک شدن به عملگرهای تکامل هستند.

This monograph is a unified presentation of several theories of finding explicit formulas for heat kernels for both elliptic and sub-elliptic operators. These kernels are important in the theory of parabolic operators because they describe the distribution of heat on a given manifold as well as evolution phenomena and diffusion processes.

The work is divided into four main parts: Part I treats the heat kernel by traditional methods, such as the Fourier transform method, paths integrals, variational calculus, and eigenvalue expansion; Part II deals with the heat kernel on nilpotent Lie groups and nilmanifolds; Part III examines Laguerre calculus applications; Part IV uses the method of pseudo-differential operators to describe heat kernels.

Topics and features:

•comprehensive treatment from the point of view of distinct branches of mathematics, such as stochastic processes, differential geometry, special functions, quantum mechanics, and PDEs;

•novelty of the work is in the diverse methods used to compute heat kernels for elliptic and sub-elliptic operators;

•most of the heat kernels computable by means of elementary functions are covered in the work;

•self-contained material on stochastic processes and variational methods is included.

Heat Kernels for Elliptic and Sub-elliptic Operators is an ideal reference for graduate students, researchers in pure and applied mathematics, and theoretical physicists interested in understanding different ways of approaching evolution operators.