Heat Kernel Method and its Applications

قلب کتاب توسعه یک بسط مجانبی کوتاه مدت برای هسته حرارتی است. این به تفصیل توضیح داده شده است و نمونه های صریح برخی از محاسبات پیشرفته آورده شده است. علاوه بر این، برخی از روش‌ها و پسوندهای پیشرفته، از جمله انتگرال‌های مسیر، انتشار پرش و موارد دیگر ارائه شده است.

کتاب شامل چهار بخش است: تجزیه و تحلیل، هندسه، آشفتگی‌ها و کاربردها. بخش اول به‌طور کوتاه برخی از مواد پس‌زمینه را بررسی می‌کند و مقدمه‌ای بر PDE‌ها ارائه می‌کند. بخش دوم به معرفی کوتاهی از جنبه های مختلف هندسه دیفرانسیل اختصاص دارد که بعدا مورد نیاز خواهد بود. بخش سوم و قلب کتاب توسعه سیستماتیک روش های موثر برای طرح های تقریب مختلف برای معادلات دیفرانسیل سهموی را ارائه می دهد. بخش آخر به کاربردها در ریاضیات مالی، به ویژه معادلات دیفرانسیل تصادفی اختصاص دارد.

اگرچه این کتاب برای مقاطع کارشناسی پیشرفته یا دانشجویان تازه‌کار در مقطع کارشناسی ارشد در نظر گرفته شده است، اما باید مرجع مفیدی برای فیزیکدانان حرفه‌ای، ریاضیدانان کاربردی و همچنین تحلیلگران کمی که به PDE علاقه‌مند هستند، ارائه دهد.

The heart of the book is the development of a short-time asymptotic expansion for the heat kernel. This is explained in detail and explicit examples of some advanced calculations are given. In addition some advanced methods and extensions, including path integrals, jump diffusion and others are presented.

The book consists of four parts: Analysis, Geometry, Perturbations and Applications. The first part shortly reviews of some background material and gives an introduction to PDEs. The second part is devoted to a short introduction to various aspects of differential geometry that will be needed later. The third part and heart of the book presents a systematic development of effective methods for various approximation schemes for parabolic differential equations. The last part is devoted to applications in financial mathematics, in particular, stochastic differential equations.

Although this book is intended for advanced undergraduate or beginning graduate students in, it should also provide a useful reference for professional physicists, applied mathematicians as well as quantitative analysts with an interest in PDEs.