Hasse-Schmidt Derivations on Grassmann Algebras: With Applications to Vertex Operators

این کتاب یک دوره جبر چند خطی پیشرفته و جامع بر اساس مفهوم مشتقات هاس-اشمیت بر روی جبر گراسمن (آنالوگ بسط تیلور برای توابع با ارزش واقعی) ارائه می‌کند و نشان می‌دهد که چگونه این مفهوم یک چارچوب طبیعی ارائه می‌کند. برای بسیاری از موضوعات ظاهراً نامرتبط: ردپای یک اندومورفیسم و ​​قضیه کیلی-همیلتون، ODE های خطی عمومی و ورنسکیان آنها، نمایی یک ماتریس با مدخل های نامشخص (روش پوتزر بازبینی شده)، تجزیه جهانی یک چند جمله ای در حاصل ضرب دو تک جمله ای با درجه کوچکتر ثابت، حساب شوبرت برای واریته های گراسمان، و عملگرهای رأس به دست آمده با کمک ابزار حساب شوبرت (فرمول جیامبلی). تأکید قابل‌توجهی بر توصیف تانسورهای تجزیه‌پذیر یک قدرت بیرونی یک گروه آبلی آزاد با رتبه احتمالاً بی‌نهایت است، که سپس به شکل دوخطی مشهور هیروتا از سلسله‌مراتب کادومتسف-پتویاشویلی (KP) منتهی می‌شود که به توصیف Plücker در تعبیه‌بندی محدود می‌پردازد. گراسمانین بعدی این کتاب با گردآوری مسائل ظاهراً متفاوت با هم تحت یک چشم‌انداز واحد، نشان می‌دهد که چگونه می‌توان پیشرفته‌ترین موضوعات را در سطح ابتدایی کشف کرد.

This book provides a comprehensive advanced multi-linear algebra course based on the concept of Hasse-Schmidt derivations on a Grassmann algebra (an analogue of the Taylor expansion for real-valued functions), and shows how this notion provides a natural framework for many ostensibly unrelated subjects: traces of an endomorphism and the Cayley-Hamilton theorem, generic linear ODEs and their Wronskians, the exponential of a matrix with indeterminate entries (Putzer's method revisited), universal decomposition of a polynomial in the product of two monic polynomials of fixed smaller degree, Schubert calculus for Grassmannian varieties, and vertex operators obtained with the help of Schubert calculus tools (Giambelli's formula). Significant emphasis is placed on the characterization of decomposable tensors of an exterior power of a free abelian group of possibly infinite rank, which then leads to the celebrated Hirota bilinear form of the Kadomtsev-Petviashvili (KP) hierarchy describing the Plücker embedding of an infinite-dimensional Grassmannian. By gathering ostensibly disparate issues together under a unified perspective, the book reveals how even the most advanced topics can be discovered at the elementary level.