Harmonic Analysis on Semigroups: Theory of Positive Definite and Related Functions

تبدیل فوریه و تبدیل لاپلاس یک اندازه گیری مثبت، همراه با دنباله گشتاور آن، یک خاصیت قطعیت مثبت را به اشتراک می گذارند که تحت مفروضات نظم خاصی برای چنین عباراتی مشخص است. این با عبارات دقیق در قضایای معروف بوشنر، برنشتاین-ویدر و هامبرگر فرمول بندی شده است. هر سه قضیه را می توان به عنوان موارد خاصی از یک قضیه کلی در مورد توابع qJ در نیمه گروه های آبلی با تابش (S، +، *) مشاهده کرد که قطعی مثبت هستند به این معنا که ماتریس (qJ(sJ + Sk» برای همه معین مثبت است. انتخاب های محدود عناصر St، ...، Sn از S. سه نتیجه اساسی ذکر شده در بالا مطابق با (~، +، x* = -x)، ([0، 00[، +، x* = x) و ( خیر، +، n* = n) هدف این کتاب ارائه یک بررسی از این توابع قطعی مثبت در نیمه گروه های آبلی با انطباق می باشد.در این کار همچنین موضوعات مرتبطی مانند توابع معین منفی، توابع کاملا تک صدایی و نابرابری های نوع هوفدینگ. ما این موضوعات را به عنوان اجزای مهم تجزیه و تحلیل هارمونیک در نیمه گروه ها در نظر می گیریم. هدف ما همزمان نوشتن کتابی بوده است که بتواند به عنوان یک کتاب درسی برای دوره های تحصیلات تکمیلی پیشرفته باشد، زیرا احساس می کنیم که مفهوم مثبت قطعیت یک مفهوم مهم و اساسی است که در ریاضیات به همان اندازه مفهوم فضای هیلبرت رخ می دهد.

The Fourier transform and the Laplace transform of a positive measure share, together with its moment sequence, a positive definiteness property which under certain regularity assumptions is characteristic for such expressions. This is formulated in exact terms in the famous theorems of Bochner, Bernstein-Widder and Hamburger. All three theorems can be viewed as special cases of a general theorem about functions qJ on abelian semigroups with involution (S, +, *) which are positive definite in the sense that the matrix (qJ(sJ + Sk» is positive definite for all finite choices of elements St, . . . , Sn from S. The three basic results mentioned above correspond to (~, +, x* = -x), ([0, 00[, +, x* = x) and (No, +, n* = n). The purpose of this book is to provide a treatment of these positive definite functions on abelian semigroups with involution. In doing so we also discuss related topics such as negative definite functions, completely mono­ tone functions and Hoeffding-type inequalities. We view these subjects as important ingredients of harmonic analysis on semigroups. It has been our aim, simultaneously, to write a book which can serve as a textbook for an advanced graduate course, because we feel that the notion of positive definiteness is an important and basic notion which occurs in mathematics as often as the notion of a Hilbert space.