Harmonic Analysis on Exponential Solvable Lie Groups

این کتاب اولین کتابی است که نتایج اخیر در مورد تجزیه و تحلیل هارمونیک گروه‌های دروغ قابل حل نمایی را گرد هم می‌آورد. هنوز بسیاری از مشکلات باز جالب وجود دارد و کتاب به پیشرفت آینده این زمینه تحقیقاتی کمک می کند. همچنین، موضوعات مرتبط مختلفی برای ایجاد انگیزه در محققان جوان ارائه شده است.

روش مداری ابداع شده توسط کریلوف برای مطالعه مسائل اساسی در تجزیه و تحلیل گروه‌های دروغ قابل حل نمایی استفاده می‌شود. این روش به ما می گوید که دوگانه واحد این گروه ها به عنوان فضای مدارهای مشترک آنها تحقق می یابد. این واقعیت با استفاده از نظریه مکی برای بازنمایی های القایی ثابت می شود و ابتدا آن مکانیسم توضیح داده می شود. یکی از مشکلات اساسی در نظریه بازنمایی، تجزیه غیرقابل کاهش بازنمایی های القایی یا محدود شده است. بنابراین، این تجزیه‌ها قبل از پرداختن به مسائل مختلف مرتبط با جزئیات مورد مطالعه قرار می‌گیرند: فرمول تعدد، فرمول‌های پلانچرل، عملگرهای درهم تنیده، متقابل فروبنیوس، و جبرهای مرتبط عملگرهای دیفرانسیل ثابت.

استدلال اصلی در اثبات ادعاهایی که در اینجا بیان می شود، استقرا است و ابزارهای زیادی برای این کار در دسترس نیست. بنابراین تجزیه و تحلیل دقیق اشیاء ذکر شده در بالا حتی برای گروه‌های Lie قابل حل نمایی دشوار است، و اغلب فرض می‌شود که G nilpotent است. برای شفاف‌تر کردن وضعیت و امکان توسعه آینده، مثال‌های عینی زیادی ارائه شده است. موضوعات مختلف ارائه شده در مورد nilpotent هنوز باید برای گروه های Lie قابل حل که nilpotent نیستند مورد مطالعه قرار گیرند. همه آنها مشکلات جالب و مهم اما دشواری را ارائه می دهند، اما باید در آینده نزدیک به آنها رسیدگی شود. فراتر از حالت نمایی، بازنمایی های القایی هولومورفیک معرفی شده توسط آسلندر و کوستانت مورد نیاز است و به همین دلیل در این کتاب گنجانده شده است.

This book is the first one that brings together recent results on the harmonic analysis of exponential solvable Lie groups. There still are many interesting open problems, and the book contributes to the future progress of this research field. As well, various related topics are presented to motivate young researchers.

The orbit method invented by Kirillov is applied to study basic problems in the analysis on exponential solvable Lie groups. This method tells us that the unitary dual of these groups is realized as the space of their coadjoint orbits. This fact is established using the Mackey theory for induced representations, and that mechanism is explained first. One of the fundamental problems in the representation theory is the irreducible decomposition of induced or restricted representations. Therefore, these decompositions are studied in detail before proceeding to various related problems: the multiplicity formula, Plancherel formulas, intertwining operators, Frobenius reciprocity, and associated algebras of invariant differential operators.

The main reasoning in the proof of the assertions made here is induction, and for this there are not many tools available. Thus a detailed analysis of the objects listed above is difficult even for exponential solvable Lie groups, and it is often assumed that G is nilpotent. To make the situation clearer and future development possible, many concrete examples are provided. Various topics presented in the nilpotent case still have to be studied for solvable Lie groups that are not nilpotent. They all present interesting and important but difficult problems, however, which should be addressed in the near future. Beyond the exponential case, holomorphically induced representations introduced by Auslander and Kostant are needed, and for that reason they are included in this book.