Harmonic Analysis and Boundary Value Problems in the Complex Domain

همان‌طور که می‌دانیم، دهه‌های اول این قرن، دوره‌ای از بسط روش‌های جدید در تحلیل پیچیده بود. این تفصیل به ویژه دارای یک ویژگی بارز بود که شامل آمیختگی برخی مفاهیم و روش های تحلیل هارمونیک و پیچیده بود. معلوم شد که این تلاقی مزایای زیادی داشت و منجر به تعداد زیادی نتایج قابل توجه شد، که ما می خواهیم به ویژه نتایج کلاسیک در مورد نظریه سری فوریه در L2 (-7r, 7r) و آنالوگ مداوم آنها - پلانچرل را ذکر کنیم. قضیه تبدیل فوریه در L2 (00-، +00). همچنین می‌خواهیم دو قضیه مهم وینر و پالی را در مورد نمایش‌های انتگرالی پارامتریک زیرکلاسی از کل توابع از نوع نمایی در فضای هاردی H2 در یک نیم صفحه ذکر کنیم. نویسنده که تحت تأثیر شدید این نتایج قرار گرفته بود، در دهه 50 مجموعه ای از تحقیقات را در تئوری بازنمایی های انتگرالی توابع تحلیلی و کل و همچنین در نظریه تحلیل هارمونیک در حوزه پیچیده آغاز کرد. این تحقیقات بر اساس ویژگی‌های قابل توجه مجانبی کل تابع (p، J1 > 0) بود که توسط Mittag-Leffler برای مورد J1 = 1 به تحلیل ریاضی معرفی شد. در فرآیند بررسی، دامنه برخی از نتایج کلاسیک اساساً بزرگ‌تر شدند و خود نتایج ارزیابی شدند.

As is well known, the first decades of this century were a period of elaboration of new methods in complex analysis. This elaboration had, in particular, one char­ acteristic feature, consisting in the interfusion of some concepts and methods of harmonic and complex analyses. That interfusion turned out to have great advan­ tages and gave rise to a vast number of significant results, of which we want to mention especially the classical results on the theory of Fourier series in L2 ( -7r, 7r) and their continual analog - Plancherel's theorem on the Fourier transform in L2 ( -00, +00). We want to note also two important Wiener and Paley theorems on parametric integral representations of a subclass of entire functions of expo­ nential type in the Hardy space H2 over a half-plane. Being under the strong influence of these results, the author began in the fifties a series of investigations in the theory of integral representations of analytic and entire functions as well as in the theory of harmonic analysis in the com­ plex domain. These investigations were based on the remarkable properties of the asymptotics of the entire function (p, J1 > 0), which was introduced into mathematical analysis by Mittag-Leffler for the case J1 = 1. In the process of investigation, the scope of some classical results was essentially enlarged, and the results themselves were evaluated.