Gröbner's Problem and the Geometry of GT-Varieties

این کتاب پیشرفت بر دو مشکل باز در چارچوب هندسه جبری و جبر رفت و آمد: مشکل Gröbner در مورد کوهن-ماکوائی بودن حسابی (ACM) از پیش بینی های گونه های ورونسی ، و مشکل تعیین ساختار جبری جبری از مجارستان گروههای ریز. ما تلاش می کنیم ارتباط غیر منتظره آنها با خصوصیات ضعیف Lefschetz (WLP) از آرمانهای آرتینیایی را درک کنیم. در سال 1967 ، گروبنر نشان داد كه تنوع ورونزی ACM است و نمونه هایی از پیش بینی های مونومی ACM و NONACM را به نمایش گذاشته است. او با انگیزه از این واقعیت ، مشکل تعیین اینکه آیا یک پیش بینی یکپارچه ACM است ، ایجاد کرد. در این کتاب ، ما یک وضعیت جامع از هنر مسئله گوبنر را ارائه می دهیم و با خانواده های پیش بینی های یکپارچه که توسط متغیرهای یک گروه محدود آبلی به نام G-Varieties پارامتری می شود ، در این سؤال مشارکت می کنیم. ما یک دیدگاه جدید در مطالعه مشکل گوبنر ارائه می دهیم ، و آن را با WLP آرمان های آرتینیایی مرتبط می کنیم. گونه های GT یک زیر کلاس از انواع G است که توسط متغیرهای ایجاد کننده یک ایده آل آرتینیایی که در WLP ایجاد می شود ، به نام سیستم Galois-Togliatti پارامتری می شود. ما هندسه متغیرهای G را مورد مطالعه قرار دادیم. ما عملکردهای هیلبرت آنها را محاسبه می کنیم ، مجموعه ای حداقل از ژنراتورهای آرمانهای همگن و ماژول متعارف حلقه های مختصات همگن خود برای توصیف حداقل وضوح رایگان آنها. ما همچنین تغییر در گروههای محدود غیربلی را برای تأکید بر پیوند بین پیش بینی های سطوح ورونزی ، تئوری متغیر گروههای محدود و WLP بررسی می کنیم. سرانجام ، ما خانواده ای از پیش بینی های یکنواخت عقلانی صاف مربوط به انواع G به نام RL-Varieties را معرفی می کنیم. ما هندسه این خانواده از پیش بینی های یکپارچه NONACM را مطالعه می کنیم و ابعاد جامعه شناسی بسته نرم افزاری طبیعی انواع RL را محاسبه می کنیم. این کتاب برای معرفی مشکل Gröbner به محققان جوان و ارائه نکات جدید و جهت های جدید برای تحقیقات بیشتر است.

This book presents progress on two open problems within the framework of algebraic geometry and commutative algebra: Gröbner's problem regarding the arithmetic Cohen-Macaulayness (aCM) of projections of Veronese varieties, and the problem of determining the structure of the algebra of invariants of finite groups. We endeavour to understand their unexpected connection with the weak Lefschetz properties (WLPs) of artinian ideals. In 1967, Gröbner showed that the Veronese variety is aCM and exhibited examples of aCM and nonaCM monomial projections. Motivated by this fact, he posed the problem of determining whether a monomial projection is aCM. In this book, we provide a comprehensive state of the art of Gröbner’s problem and we contribute to this question with families of monomial projections parameterized by invariants of a finite abelian group called G-varieties. We present a new point of view in the study of Gröbner’s problem, relating it to the WLP of Artinian ideals. GT varieties are a subclass of G varieties parameterized by invariants generating an Artinian ideal failing the WLP, called the Galois-Togliatti system. We studied the geometry of the G-varieties; we compute their Hilbert functions, a minimal set of generators of their homogeneous ideals, and the canonical module of their homogeneous coordinate rings to describe their minimal free resolutions. We also investigate the invariance of nonabelian finite groups to stress the link between projections of Veronese surfaces, the invariant theory of finite groups and the WLP. Finally, we introduce a family of smooth rational monomial projections related to G-varieties called RL-varieties. We study the geometry of this family of nonaCM monomial projections and we compute the dimension of the cohomology of the normal bundle of RL varieties. This book is intended to introduce Gröbner’s problem to young researchers and provide new points of view and directions for further investigations.