Gröbner Deformations of Hypergeometric Differential Equations

در سال‌های اخیر الگوریتم‌های جدیدی برای برخورد با حلقه‌های عملگرهای دیفرانسیل کشف و پیاده‌سازی شده‌اند. ابزار اصلی نظریه پایه های گروبنر است که در اینجا از نقطه نظر تغییر شکل های هندسی مورد بررسی مجدد قرار می گیرد. تکنیک های اغتشاش یک سنت طولانی در تجزیه و تحلیل دارند. تغییر شکل‌های گروبنر از ایده‌آل‌های چپ در جبر ویل، مشابه جبری تکنیک‌های اغتشاش کلاسیک است. روش های الگوریتمی معرفی شده در این کتاب به ویژه برای مطالعه سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی فرا هندسی چند بعدی که توسط Gel'fand، Kapranov و Zelevinsky معرفی شده اند مفید هستند. تغییر شکل گروبنر در این سیستم‌های فراهندسی GKZ مشکلات مربوط به توابع فراهندسی را به سؤالاتی در مورد ایده‌آل‌های یکپارچه جابجایی کاهش می‌دهد و در نتیجه منجر به تعامل غیرمنتظره بین تجزیه و تحلیل و ترکیبی می‌شود. این کتاب حاوی تعدادی از نتایج تحقیقاتی اصلی در مورد سیستم‌های هولونومیک و توابع فراهندسی است، و بسیاری از مسائل باز را برای تحقیقات آینده در این حوزه به سرعت در حال رشد از ریاضیات محاسباتی مطرح می‌کند.

In recent years, new algorithms for dealing with rings of differential operators have been discovered and implemented. A main tool is the theory of Gröbner bases, which is reexamined here from the point of view of geometric deformations. Perturbation techniques have a long tradition in analysis; Gröbner deformations of left ideals in the Weyl algebra are the algebraic analogue to classical perturbation techniques. The algorithmic methods introduced in this book are particularly useful for studying the systems of multidimensional hypergeometric partial differentiel equations introduced by Gel'fand, Kapranov and Zelevinsky. The Gröbner deformation of these GKZ hypergeometric systems reduces problems concerning hypergeometric functions to questions about commutative monomial ideals, and thus leads to an unexpected interplay between analysis and combinatorics. This book contains a number of original research results on holonomic systems and hypergeometric functions, and it raises many open problems for future research in this rapidly growing area of computational mathematics '