Gröbner Bases: Statistics and Software Systems

ایده پایه گروبنر برای اولین بار در مقاله ای در سال 1927 توسط F. S. Macaulay ظاهر شد که موفق شد توصیفی ترکیبی از توابع هیلبرت از ایده آل های همگن حلقه چند جمله ای ایجاد کند. بعدها، تعریف مدرن پایه گروبنر به طور مستقل توسط هایسوکه هیروناکا در سال 1964 و برونو بوخبرگر در سال 1965 ارائه شد. با این حال، پس از کشف مفهوم پایه گروبنر توسط هیروناکا و بوخبرگر، به مدت 20 سال به طور فعال دنبال نشد. پیشرفتی در اواسط دهه 1980 توسط دیوید بایر و مایکل استیلمن ایجاد شد که سیستم جبر رایانه ای مکالی را با کمک گروبنر ایجاد کردند. از آن زمان، توسعه سریع بر اساس گروبنر توسط بسیاری از محققین، از جمله برند استورمفلز، به دست آمده است.

این کتاب به عنوان یک کتاب مقدس استاندارد از اساس گروبنر، که هماهنگی تئوری، کاربرد و محاسبات برای آن به کار می‌رود ضروری هستند. این همه اصول اولیه را برای دانشجویان فارغ التحصیل فراهم می کند تا ABC های پایه گروبنر را بیاموزند، بدون نیاز به دانش خاصی برای درک آن نکات اساسی.

شروع از عملکرد مقدماتی پایه گروبنر (فصل 1)، یک سفر پیرامون نرم افزار ریاضی در ادامه می آید (فصل 2). سپس یک بحث عمیق در مورد چگونگی محاسبه مبنای گروبنر (فصل 3) می آید. این سه فصل را می توان اولین عمل یک نمایشنامه ریاضی دانست. عمل دوم با موضوعاتی در مورد آمار جبری (فصل 4) آغاز می شود، یک حوزه تحقیقاتی جذاب که در آن اساس گروبنر از یک ایده آل توریک ابزار اساسی روش زنجیره مارکوف مونت کارلو است. علاوه بر این، اساس گروبنر از یک ایده آل توریک تأثیر زیادی در مطالعه پلی توپ های محدب داشته است (فصل 5). علاوه بر این، مبنای گروبنر حلقه عملگرهای دیفرانسیل، الگوریتم‌های مؤثری را بر روی توابع هولونومی ارائه می‌دهد (فصل 6). عمل سوم (فصل 7) مجموعه ای از مثال ها و مسائل عینی برای فصل های 4، 5 و 6 است که بر محاسبات با استفاده از سیستم های نرم افزاری مختلف تأکید دارد.

The idea of the Gröbner basis first appeared in a 1927 paper by F. S. Macaulay, who succeeded in creating a combinatorial characterization of the Hilbert functions of homogeneous ideals of the polynomial ring. Later, the modern definition of the Gröbner basis was independently introduced by Heisuke Hironaka in 1964 and Bruno Buchberger in 1965. However, after the discovery of the notion of the Gröbner basis by Hironaka and Buchberger, it was not actively pursued for 20 years. A breakthrough was made in the mid-1980s by David Bayer and Michael Stillman, who created the Macaulay computer algebra system with the help of the Gröbner basis. Since then, rapid development on the Gröbner basis has been achieved by many researchers, including Bernd Sturmfels.

This book serves as a standard bible of the Gröbner basis, for which the harmony of theory, application, and computation are indispensable. It provides all the fundamentals for graduate students to learn the ABC’s of the Gröbner basis, requiring no special knowledge to understand those basic points.

Starting from the introductory performance of the Gröbner basis (Chapter 1), a trip around mathematical software follows (Chapter 2). Then comes a deep discussion of how to compute the Gröbner basis (Chapter 3). These three chapters may be regarded as the first act of a mathematical play. The second act opens with topics on algebraic statistics (Chapter 4), a fascinating research area where the Gröbner basis of a toric ideal is a fundamental tool of the Markov chain Monte Carlo method. Moreover, the Gröbner basis of a toric ideal has had a great influence on the study of convex polytopes (Chapter 5). In addition, the Gröbner basis of the ring of differential operators gives effective algorithms on holonomic functions (Chapter 6). The third act (Chapter 7) is a collection of concrete examples and problems for Chapters 4, 5 and 6 emphasizing computation by using various software systems.