Grundwissen Mathematikstudium – Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen: Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen (German Edition)

Vorwort zur 2. Auflage
Vorwort
Die Autoren
Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis der Übersichten
1. Mathematik – eine
Wissenschaft für sich
	1.1 Über Mathematik, Mathematiker und
dieses Lehrbuch
	1.2 Die didaktischen Elemente
dieses Buchs
	1.3 Ratschläge zum Einstieg in
die Mathematik
	1.4 Eine kurze Geschichte der
Mathematik
2. Logik, Mengen, Abbildungen – die
Sprache der Mathematik
	2.1 Junktoren und Quantoren
	2.2 Grundbegriffe aus der
Mengenlehre
	2.3 Abbildungen
	2.4 Relationen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
3.
Algebraische Strukturen – ein Blick hinter die Rechenregeln
	3.1 Gruppen
	3.2 Homomorphismen
	3.3 Körper
	3.4 Ringe
	Zusammenfassung
	Aufgaben
4.
Zahlbereiche – Basis der gesamten Mathematik
	4.1 Der Körper der reellen
Zahlen
	4.2 Die Anordnungsaxiome für
die reellen Zahlen
	4.3 Ein Vollständigkeitsaxiom
	4.4 Natürliche Zahlen und
vollständige Induktion
	4.5 Ganze Zahlen und rationale
Zahlen
	4.6 Komplexe Zahlen
	4.7 Vertiefung: Konstruktiver
Aufbau der reellen Zahlen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
5.
Lineare Gleichungssysteme – ein Tor zur linearen Algebra
	5.1 Erste Lösungsversuche
	5.2 Das Lösungsverfahren von
Gauß und Jordan
	5.3 Das Lösungskriterium und
die Struktur der Lösung
	Zusammenfassung
	Aufgaben
6. Vektorräume – von
Basen und Dimensionen
	6.1 Der Vektorraumbegriff
	6.2 Beispiele von Vektorräumen
	6.3 Untervektorräume
	6.4 Basis und Dimension
	6.5 Summe und Durchschnitt
von Untervektorräumen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
7.
Analytische Geometrie – Rechnen statt Zeichnen
	7.1 Punkte und Vektoren im
Anschauungsraum
	7.2 Das Skalarprodukt im
Anschauungsraum
	7.3 Weitere Produkte von Vektoren im
Anschauungsraum
	7.4 Abstände zwischen Punkten,
Geraden und Ebenen
	7.5 Wechsel zwischen kartesischen
Koordinatensystemen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
8.
Folgen – der Weg ins Unendliche
	8.1 Der Begriff einer Folge
	8.2 Konvergenz
	8.3 Häufungspunkte und
Cauchy-Folgen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
9. Funktionen und
Stetigkeit – ε trifft auf δ
	9.1 Grundlegendes zu
Funktionen
	9.2 Beschränkte und monotone
Funktionen
	9.3 Grenzwerte für Funktionen
und die Stetigkeit
	9.4 Abgeschlossene, offene,
kompakte Mengen
	9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz
	Zusammenfassung
	Aufgaben
10.
Reihen – Summieren bis zum Letzten
	10.1 Motivation und Definition
	10.2 Kriterien für Konvergenz
	10.3 Absolute Konvergenz
	10.4 Kriterien für absolute
Konvergenz
	Zusammenfassung
	Aufgaben
11. Potenzreihen – Alleskönner unter
den Funktionen
	11.1 Definition und Grundlagen
	11.2 Die Darstellung von Funktionen
durch Potenzreihen
	11.3 Die Exponentialfunktion
	11.4 Trigonometrische
Funktionen
	11.5 Der Logarithmus
	Zusammenfassung
	Aufgaben
12.
Lineare Abbildungen und Matrizen – Brücken zwischen Vektorräumen
	12.1 Definition und Beispiele
	12.2 Verknüpfungen von
linearen Abbildungen
	12.3 Kern, Bild und die
Dimensionsformel
	12.4 Darstellungsmatrizen
	12.5 Das Produkt von Matrizen
	12.6 Das Invertieren von
Matrizen
	12.7 Elementarmatrizen
	12.8 Basistransformation
	12.9 Der Dualraum
	Zusammenfassung
	Aufgaben
13. Determinanten – Kenngrößen von
Matrizen
	13.1 Die Definition der
Determinante
	13.2 Determinanten von
Endomorphismen
	13.3 Berechnung der
Determinante
	13.4 Anwendungen der
Determinante
	Zusammenfassung
	Aufgaben
14. Normalformen – Diagonalisieren und
Triangulieren
	14.1 Diagonalisierbarkeit
	14.2 Eigenwerte und
Eigenvektoren
	14.3 Berechnung der Eigenwerte
und Eigenvektoren
	14.4 Algebraische und
geometrische Vielfachheit
	14.5 Die Exponentialfunktion
für Matrizen
	14.6 Das Triangulieren von
Endomorphismen
	14.7 Die Jordan-Normalform
	14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und
Jordan-Basis
	14.9 Das Minimalpolynom einer
Matrix
	Zusammenfassung
	Aufgaben
15.
Differenzialrechnung – die Linearisierung von Funktionen
	15.1 Die Ableitung
	15.2 Differenziationsregeln
	15.3 Der Mittelwertsatz
	15.4 Verhalten differenzierbarer
Funktionen
	15.5 Taylorreihen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
16.
Integrale – von lokal zu global
	16.1 Integration von
Treppenfunktionen
	16.2 Das Lebesgue-Integral
	16.3 Stammfunktionen
	16.4 Integrationstechniken
	16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle
oder Funktionen
	16.6 Parameterabhängige
Integrale
	16.7 Weitere Integrationsbegriffe
	Zusammenfassung
	Aufgaben
17. Euklidische und unitäre Vektorräume – orthogonales
Diagonalisieren
	17.1 Euklidische Vektorräume
	17.2 Norm, Abstand, Winkel,
Orthogonalität
	17.3 Orthonormalbasen und
orthogonale Komplemente
	17.4 Unitäre Vektorräume
	17.5 Orthogonale und unitäre
Endomorphismen
	17.6 Selbstadjungierte
Endomorphismen
	17.7 Normale Endomorphismen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
18.
Quadriken – vielseitig nutzbare Punktmengen
	18.1 Symmetrische
Bilinearformen
	18.2 Hermitesche
Sesquilinearformen
	18.3 Quadriken und ihre
Hauptachsentransformation
	18.4 Die Singulärwertzerlegung
	18.5 Die Pseudoinverse einer
linearen Abbildung
	Zusammenfassung
	Aufgaben
19.
Metrische Räume – Zusammenspiel von Analysis und linearer Algebra
	19.1 Metrische Räume
und ihre Topologie
	19.2 Konvergenz und Stetigkeit
in metrischen Räumen
	19.3 Kompaktheit
	19.4 Zusammenhangsbegriffe
	19.5 Vollständigkeit
	19.6 Banach- und Hilbert-Räume
	Zusammenfassung
	Aufgaben
20. Differenzialgleichungen – Funktionen sind
gesucht
	20.1 Begriffsbildungen
	20.2 Elementare analytische
Techniken
	20.3 Existenz und Eindeutigkeit
	20.4 Grundlegende numerische
Verfahren
	Zusammenfassung
	Aufgaben
21.
Funktionen mehrerer Variablen – Differenzieren im Raum
	21.1 Einführung
	21.2 Differenzierbarkeitsbegriffe: Totale und partielle
Differenzierbarkeit
	21.3 Differenziationsregeln
	21.4 Mittelwertsätze und
Schrankensätze
	21.5 Höhere partielle Ableitungen und der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz
	21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema
	21.7 Der lokale Umkehrsatz
	21.8 Der Satz über implizite
Funktionen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
22. Gebietsintegrale – das
Ausmessen von Mengen
	22.1 Definition und
Eigenschaften
	22.2 Die Berechnung von
Gebietsintegralen
	22.3 Die Transformationsformel
	22.4 Wichtige Koordinatensysteme
	Zusammenfassung
	Aufgaben
23. Vektoranalysis – im Zentrum steht
der Gauß’sche Satz
	23.1 Kurven im Rn
	23.2 Das Kurvenintegral
	23.3 Flächen und
Flächenintegrale
	Zusammenfassung
	Aufgaben
24. Optimierung – aber mit
Nebenbedingungen
	24.1 Lineare Optimierung
	24.2 Das Simplex-Verfahren
	24.3 Dualitätstheorie
	24.4 Differenzierbare Probleme
	Zusammenfassung
	Aufgaben
25. Elementare Zahlentheorie –
Teiler und Vielfache
	25.1 Teilbarkeit
	25.2 Der euklidische
Algorithmus
	25.3 Der Fundamentalsatz der
Arithmetik
	25.4 ggT und kgV
	25.5 Zahlentheoretische
Funktionen
	25.6 Rechnen mit Kongruenzen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
26.
Elemente der diskreten Mathematik – die Kunst des Zählens
	26.1 Einführung in die
Graphentheorie
	26.2 Einführung in die
Kombinatorik
	26.3 Erzeugende Funktionen
	Zusammenfassung
	Aufgaben
Hinweise zu den Aufgaben
Lösungen zu den Aufgaben
Bildnachweis
Symbolglossar
Sachregister