Grundlagen der Mathematik I

اصول راهنماي تحقيقات من در زمينه مباني رياضيات، كه از سال 1917 در بحث با P. BERNAYS از سر گرفته‌ام - بر اساس رويكردهاي پيشين - به تفصيل توسط من در جاهاي مختلف ارائه شده است. از آن زمان، ریاضیدانان مختلفی به این تحقیقات پیوستند، که W. ACKERMANN نیز در آن شرکت داشت. دوره ارائه شده در اینجا در بخش اول خود که توسط BERNAYS نوشته شده و هنوز ادامه دارد، با هدف ارائه نظریه مطابق با نتایج فعلی آن است. در عین حال، این وضعیت نتایج نشان‌دهنده جهت‌گیری برای تحقیقات بیشتر در نظریه اثبات به سمت هدف نهایی است که روش‌های معمول ریاضیات را بدون تناقض تشخیص دهیم. با در نظر گرفتن این هدف، مایلم تأکید کنم که نظری که گاهی مطرح شده، مبنی بر اینکه برخی از نتایج اخیر گودل حاکی از غیرعملی بودن نظریه اثبات من است، اشتباه نشان داده شده است. در واقع، این نتیجه تنها نشان می‌دهد که برای اثبات سازگاری بیشتر، باید از دیدگاه متناهی به روشی دقیق‌تر از آنچه هنگام در نظر گرفتن فرمالیسم‌های ابتدایی لازم است استفاده کرد. گوتینگن، مارس 1934 HILBERT مقدمه برای اولین نسخه HILBERT ارائه نظریه اثبات را اعلام کرد، که از مدتها قبل از رویکرد هیلبرت برای برخورد با مسائل اساسی ریاضی-منطقی رشد کرده است.

Die Leitgedanken meiner Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik, die ich - anknüpfend an frühere Ansätze - seit 1917 in Besprechungen mit P. BERNAYS wieder aufgenommen habe, sind von mir an verschiedenen Stellen eingehend dargelegt worden. Diesen Untersuchungen, an denen auch W. ACKERMANN beteiligt ist, haben sich seither noch verschiedene Mathematiker angeschlossen. Der hier in seinem ersten Teil vorliegende, von BERNAYS abgefaßte und noch fortzusetzende Lehrgang bezweckt eine Darstellung der Theorie nach ihren heutigen Ergebnissen. Dieser Ergebnisstand weist zugleich die Richtung für die weitere Forschung in der Beweistheorie auf das Endziel hin, unsere üblichen Methoden der Mathematik samt und sonders als widerspruchsfrei zu erkennen. Im Hinblick auf dieses Ziel möchte ich hervorheben, daß die zeit­ weilig aufgekommene Meinung, aus gewissen neueren Ergebnissen von GÖDEL folge die Undurchführbarkeit meiner Beweistheorie, als irrtüm­ lich erwiesen ist. Jenes Ergebnis zeigt in der Tat auch nur, daß man für die weitergehenden Widerspruchsfreiheitsbeweise den finiten Stand­ punkt in einer schärferen Weise ausnutzen muß, als dieses bei der Be­ trachtung der elementaren Formallsmen erforderlich ist. Göttingen, im März 1934 HILBERT Vorwort zur ersten Auflage Eine Darstellung der Beweistheorie, welche aus dem HILBERTschen Ansatz zur Behandlung der mathematisch-logischen Grundlagenpro­ bleme erwachsen ist, wurde schon seit längerem von HILBERT ange­ kündigt.