Groups, Matrices, and Vector Spaces: A Group Theoretic Approach to Linear Algebra

این متن منحصربه‌فرد رویکردی هندسی به نظریه گروهی و جبر خطی ارائه می‌کند و روش‌های جالب تعامل این موضوعات را آشکار می‌کند. این متن که به پیش نیازهای کمی فراتر از درک مفهوم برهان نیاز دارد، قصد دارد به دانش آموزان پایه ای قوی در هندسه و جبر بدهد. کتاب با مقدمات (روابط، ترکیب‌های ابتدایی و استقراء)، سپس به موضوعات اصلی می‌پردازد: عناصر نظریه گروه‌ها و میدان‌ها (قضیه لاگرانژ، هم‌زیست‌ها، اعداد مختلط و میدان‌های اول)، نظریه ماتریس و ماتریس. گروه ها، تعیین کننده ها، فضاهای برداری، نگاشت های خطی، تئوری ویژه و قطری، تجزیه جردن و فرم نرمال، ماتریس های نرمال و فرم های درجه دوم. دو فصل پایانی شامل نگاهی فشرده تر به نظریه گروه، تاکید بر روش های تثبیت کننده مدار، و مقدمه ای بر گروه های جبری خطی است که مفهوم گروه ماتریسی را غنی می کند.

کاربردهایی که شامل گروه‌های تقارن، عوامل تعیین‌کننده، نظریه کدگذاری خطی و رمزنگاری می‌شوند در سرتاسر در هم تنیده شده‌اند. هر بخش با مشکلات تمرینی فراوان به پایان می رسد که به خواننده کمک می کند تا مطالب را بهتر درک کند. برخی از کاربردها در ضمیمه های فصل نشان داده شده است. ترکیب منحصر به فرد نویسنده از موضوعات از یک دوره دو ترم که او در دانشگاه بریتیش کلمبیا تدریس می کرد متشکل از یک دوره عالی در مقطع کارشناسی در مورد جبر خطی انتزاعی و یک دوره مشابه در تئوری گروه ها تکامل یافته است. محتوای ترکیبی هر دو، این متن کمیاب را برای یک دوره یک ساله ایده‌آل می‌کند، و مطالب بیشتری را نسبت به اکثر متون جبر خطی پوشش می‌دهد. همچنین برای مطالعه مستقل و به عنوان متن تکمیلی برای کاربردهای مختلف حرفه ای بهینه است. دانشجویان پیشرفته کارشناسی یا کارشناسی ارشد در ریاضیات، فیزیک، علوم کامپیوتر و مهندسی این کتاب را مفید و لذت بخش خواهند دانست.

This unique text provides a geometric approach to group theory and linear algebra, bringing to light the interesting ways in which these subjects interact. Requiring few prerequisites beyond understanding the notion of a proof, the text aims to give students a strong foundation in both geometry and algebra. Starting with preliminaries (relations, elementary combinatorics, and induction), the book then proceeds to the core topics: the elements of the theory of groups and fields (Lagrange's Theorem, cosets, the complex numbers and the prime fields), matrix theory and matrix groups, determinants, vector spaces, linear mappings, eigentheory and diagonalization, Jordan decomposition and normal form, normal matrices, and quadratic forms. The final two chapters consist of a more intensive look at group theory, emphasizing orbit stabilizer methods, and an introduction to linear algebraic groups, which enriches the notion of a matrix group.

Applications involving symmetry groups, determinants, linear coding theory and cryptography are interwoven throughout. Each section ends with ample practice problems assisting the reader to better understand the material.  Some of the applications are illustrated in the chapter appendices. The author's unique melding of topics evolved from a two semester course that he taught at the University of British Columbia consisting of an undergraduate honors course on abstract linear algebra and a similar course on the theory of groups. The combined content from both makes this rare text ideal for a year-long course, covering more material than most linear algebra texts. It is also optimal for independent study and as a supplementary text for various professional applications. Advanced undergraduate or graduate students in mathematics, physics, computer science and engineering will find this book both useful and enjoyable.