Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups

اگر گروه‌های Lie کلاسیک هنجارهای بردار دوخطی را حفظ می‌کنند، کدام گروه‌های دروغ ثابت‌های سه‌خطی، چهارخطی و مرتبه بالاتر را حفظ می‌کنند؟ پردراگ کویتانوویچ با پاسخ دادن به این سوال از منظری تازه و بدیع، خواننده را به سفری شگفت‌انگیز و چهار هزار نموداری در تئوری گروه‌های دروغ می‌برد. این کتاب اولین کتابی است که به طور سیستماتیک عملگرهای طرح ریزی نموداری را برای ساختن تمام جبرهای دروغ نیمه ساده، چه کلاسیک و چه استثنایی، به طور سیستماتیک توسعه داده، توضیح می دهد و به کار می برد.

تانسورهای ثابت به شکلی تا حدی غیر متعارف، اما اخیراً ارائه شده اند. سال‌ها به‌طور گسترده مورد استفاده قرار می‌گرفت، نماد «رد پرندگان» با الهام از نمودارهای فاینمن نظریه میدان کوانتومی. قابل ذکر است، نمودارهای تانسور ثابت جایگزین استدلال جبری در انجام تمام محاسبات نظری گروهی می شوند. رویکرد نموداری به‌ویژه در ارزیابی ضرایب پیچیده و وزن‌های گروهی و آشکار کردن تقارن‌های پنهان شده توسط نمادهای جبری یا شاخص معمولی مؤثر است. این کتاب اکثر موضوعات مورد نیاز در برنامه ها را از این دیدگاه جدید پوشش می دهد: جایگشت ها، عملگرهای طرح جوان، نمایش های اسپینوریال، عملگرهای Casimir، و شاخص های Dynkin. فراتر از این سرزمین پر رفت و آمد، مناظر عجیب و غریب تری مانند روابط "بُعد منفی" بین گروه های مختلف و نمایندگی های آنها باز می شود. جالب‌ترین نتیجه طبقه‌بندی ثابت‌های بدوی، ظهور همه گروه‌های استثنایی Lie در یک خانواده واحد، و الگوی همراه گروه‌های Lie استثنایی و کلاسیک، به اصطلاح مثلث جادویی است. این کتاب که به سبکی پر جنب و جوش و با شخصیت نوشته شده است، برای محققان و دانشجویان فارغ التحصیل در فیزیک نظری و ریاضیات هدف قرار گرفته است.

If classical Lie groups preserve bilinear vector norms, what Lie groups preserve trilinear, quadrilinear, and higher order invariants? Answering this question from a fresh and original perspective, Predrag Cvitanovic takes the reader on the amazing, four-thousand-diagram journey through the theory of Lie groups. This book is the first to systematically develop, explain, and apply diagrammatic projection operators to construct all semi-simple Lie algebras, both classical and exceptional.

The invariant tensors are presented in a somewhat unconventional, but in recent years widely used, "birdtracks" notation inspired by the Feynman diagrams of quantum field theory. Notably, invariant tensor diagrams replace algebraic reasoning in carrying out all group-theoretic computations. The diagrammatic approach is particularly effective in evaluating complicated coefficients and group weights, and revealing symmetries hidden by conventional algebraic or index notations. The book covers most topics needed in applications from this new perspective: permutations, Young projection operators, spinorial representations, Casimir operators, and Dynkin indices. Beyond this well-traveled territory, more exotic vistas open up, such as "negative dimensional" relations between various groups and their representations. The most intriguing result of classifying primitive invariants is the emergence of all exceptional Lie groups in a single family, and the attendant pattern of exceptional and classical Lie groups, the so-called Magic Triangle. Written in a lively and personable style, the book is aimed at researchers and graduate students in theoretical physics and mathematics.