Green's Kernels and Meso-Scale Approximations in Perforated Domains

گستره وسیعی از کاربردها در فیزیک و مکانیک سازه‌ای وجود دارد که شامل حوزه‌هایی با اغتشاشات منفرد مرز است. به عنوان مثال می توان به دامنه ها و بدنه های سوراخ دار با انواع مختلف نقص اشاره کرد. درمان دقیق عددی مستقیم چنین مشکلاتی همچنان یک چالش است. تقریب مجانبی یک راه حل جایگزین و کارآمد ارائه می دهد.
تابع گرین در اینجا به عنوان هدف اصلی مطالعه در نظر گرفته می شود تا ابزاری برای ایجاد راه حل های مسائل ارزش مرزی خاص. یکنواختی تقریب مجانبی نکته اصلی توجه است. ما همچنین پیوندهای قابل توجهی بین توابع گرین و راه‌حل‌های مسائل ارزش مرزی برای ساختارهای مقیاس متوسط ​​نشان می‌دهیم. چنین سیستم هایی شامل تعداد زیادی گنجاندن کوچک هستند، به طوری که یک پارامتر کوچک، اندازه نسبی یک شامل، ممکن است با یک پارامتر بزرگ، که به عنوان تعداد کلی شامل نشان داده می شود، رقابت کند.
تمرکز اصلی متن حاضر بر روی دو موضوع: (الف) مجانبی هسته‌های گرین در حوزه‌هایی با مرزهای منفرد آشفته و (ب) تقریب مجانبی در مقیاس میانی میدان‌های فیزیکی در حوزه‌های غیر تناوبی با شمول‌های زیاد. ویژگی جدید این تقریب های مجانبی یکنواختی آنها با توجه به متغیرهای مستقل است.
این کتاب به نیازهای ریاضیدانان، فیزیکدانان و مهندسان و همچنین دانشجویان محقق علاقه مند به تحلیل مجانبی و محاسبات عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی می پردازد. .

There are a wide range of applications in physics and structural mechanics involving domains with singular perturbations of the boundary. Examples include perforated domains and bodies with defects of different types. The accurate direct numerical treatment of such problems remains a challenge. Asymptotic approximations offer an alternative, efficient solution.
Green’s function is considered here as the main object of study rather than a tool for generating solutions of specific boundary value problems. The uniformity of the asymptotic approximations is the principal point of attention. We also show substantial links between Green’s functions and solutions of boundary value problems for meso-scale structures. Such systems involve a large number of small inclusions, so that a small parameter, the relative size of an inclusion, may compete with a large parameter, represented as an overall number of inclusions.
The main focus of the present text is on two topics: (a) asymptotics of Green’s kernels in domains with singularly perturbed boundaries and (b) meso-scale asymptotic approximations of physical fields in non-periodic domains with many inclusions. The novel feature of these asymptotic approximations is their uniformity with respect to the independent variables.
This book addresses the needs of mathematicians, physicists and engineers, as well as research students interested in asymptotic analysis and numerical computations for solutions to partial differential equations.