Global Aspects of Classical Integrable Systems

این کتاب یک توصیف هندسی جهانی کامل از حرکت نوسانگر هانونیک دو بعدی، مسئله کپلر، بالای اویلر، آونگ کروی و بالای لاگرانژ ارائه می‌دهد. تقریباً در هر کتاب فیزیک مکانیک کلاسیک، این سیستم‌های کلاسیک همیلتونی قابل ادغام مشاهده می‌شود. پس چرا این کتاب ضروری است؟ پاسخ این است که درمان های استاندارد کامل نیستند. برای مثال در کتاب‌های فیزیک، نمی‌توان تک‌درومی در آونگ کروی را از راه حل صریح آن بر حسب توابع بیضوی مشاهده کرد و همچنین نمی‌توان از راه‌حل صریح این واقعیت را خواند که راکت تنیس هنگامی که پرتاب می‌شود تقریباً نیمی از آن را می‌پیچد. تقریباً حول محور میانی خود بچرخد. کتاب‌های ریاضیات مدرن در مکانیک از ابزار هندسی ساده‌ای که برای درمان ویژگی‌های کیفی این مسائل ایجاد می‌کنند استفاده نمی‌کنند. یکی از دلایل این امر این است که ابزار اصلی آنها برای حذف تقارن‌های سیستم‌های همیلتونی، به نام کاهش منظم، به اندازه کافی عمومی نیست تا بتواند تقارن‌هایی را که در آونگ کروی یا در بالای لاگرانژ رخ می‌دهد، انجام دهد. برای این تقارن ها نیاز به کاهش منفرد است. دلیل دیگر این است که در زمان نگارش این آثار، موانعی که برای جهانی شدن مختصات زاویه کنش محلی مانند تک‌درومی وجود دارد، شناخته نشده است.

This book gives a complete global geometric description of the motion of the two di­ mensional hannonic oscillator, the Kepler problem, the Euler top, the spherical pendulum and the Lagrange top. These classical integrable Hamiltonian systems one sees treated in almost every physics book on classical mechanics. So why is this book necessary? The answer is that the standard treatments are not complete. For instance in physics books one cannot see the monodromy in the spherical pendulum from its explicit solution in terms of elliptic functions nor can one read off from the explicit solution the fact that a tennis racket makes a near half twist when it is tossed so as to spin nearly about its intermediate axis. Modem mathematics books on mechanics do not use the symplectic geometric tools they develop to treat the qualitative features of these problems either. One reason for this is that their basic tool for removing symmetries of Hamiltonian systems, called regular reduction, is not general enough to handle removal of the symmetries which occur in the spherical pendulum or in the Lagrange top. For these symmetries one needs singular reduction. Another reason is that the obstructions to making local action angle coordinates global such as monodromy were not known when these works were written.