Georg Cantor 1845 – 1918

بی‌نهایت همیشه ذهن مردم را به حرکت درآورده است. از شفاف سازی هیلبرت [226، ص. 163] اندکی بیش از 100 سال از انتشار قسمت ششم و پایانی کار بنیادی CANTOR در مورد منیفولدهای نقطه خطی نامحدود در Mathematical Annals می گذرد. با این، نظریه مجموعه ها متولد شد و با آن یک مفهوم اساساً جدید از بی نهایت در ریاضیات، که در نظریه اعداد متقابل کانتور تجسم یافت، متولد شد. هیلبرت این نظریه را «تحسین برانگیزترین گل ذهن ریاضی و یکی از بالاترین دستاوردهای فعالیت صرفاً فکری انسان» توصیف کرد. در ابتدا نادیده گرفته شد یا رد شد، در پایان قرن گذشته به طور فزاینده ای شناخته شد و مورد استفاده قرار گرفت، و دوباره با کشف آنتینومی ها متزلزل شد، نظریه مجموعه ها به شکل بدیهی آن امروزه یکی از پایه های ریاضیات است. این واقعیت که همه مفاهیم ریاضی را می توان به مفاهیم نظری مجموعه ها تقلیل داد، حتی برخی از نویسندگان را بر آن داشت که ادعا کنند که تمام ریاضیات در نهایت با نظریه مجموعه ها یکسان است. با این حال، اگر چنین دیدگاهی به نظر ما تأکید بیش از حد غیرموجه بر امر صوری بر محتوا باشد، با این وجود مسلم است که نفوذ نظریه مجموعه ها به ریاضیات، در کنار ظهور تفکر ساختاری و استفاده از روش بدیهی، امری است. ویژگی اساسی ریاضیات مدرن در بسیاری از کشورها این تأثیر بر درس های مدرسه داشته است.

Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt der Menschen bewegt," das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so an­ regend und fruchtbar gewirkt," das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig. HILBERT [226, p. 163] Etwas mehr als 100 Jahre sind vergangen, seit in den Mathemati­ schen Annalen der sechste und letzte Teil von CANTORS fundamenta­ ler Arbeit Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten erschie­ nen ist. Damit war die Mengenlehre geboren und mit ihr eine prinzipiell neue Auffassung des Unendlichen in der Mathematik, verkörpert in CANTORS Theorie der transfiniten Zahlen. Diese Theo­ rie hat HILBERT als «die bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes und überhaupt eine der höchsten Leistungen rein verstandes­ mäßiger menschlicher Tätigkeit» bezeichnet. Anfangs unbeachtet oder abgelehnt, zu Ende des vorigen Jahrhunderts zunehmend anerkannt und verwendet, durch die Ent­ deckung der Antinomien erneut erschüttert, ist die Mengenlehre in ihrer heutigen axiomatisierten Gestalt eines der Fundamente der Mathematik. Die Tatsache, daß alle mathematischen Begriffe auf mengentheoretische Begriffe zurückgeführt werden können, hat ei­ nige Autoren sogar zu der Behauptung veranlaßt, die gesamte Ma­ thematik sei letztendlich mit der Mengenlehre identisch. Wenn uns allerdings eine solche Ansicht als eine ungerechtfertigte Überbeto­ nung des Formalen gegenüber dem Inhaltlichen erscheint, so ist doch unbestritten, daß die mengentheoretische Durchdringung der Mathematik neben der Entstehung des strukturellen Denkens und der Verwendung der axiomatischen Methode ein Wesenszug der mo­ dernen Mathematik ist. Das hat in zahlreichen Ländern bis in den Schulunterricht hinein gewirkt.