Geometry of Voting

بیش از دو قرن تئوری و تجربه عملی به ما آموخته است که رویه های انتخابات و تصمیم گیری آن طور که انتظار می رود رفتار نمی کنند. در عوض، اکنون می دانیم که وقتی روش های مختلف شمارش برای یک برگه رای اعمال می شود، نتایج کاملاً متفاوتی می تواند ظاهر شود، که اکثر رویه ها می توانند نامزد را انتخاب کنند، رأی دهندگان آن را ضعیف تر می دانند، و برخی از روش های رایج دارای این ناهنجاری آزاردهنده هستند که نامزد برنده می تواند پس از دریافت حمایت اضافی شکست بخورد. یک نظریه هندسی برای حذف بسیاری از رمز و راز روش های رأی گیری سه نامزد ایجاد شده است. به این ترتیب، طیف نتایج انتخابات از همه روش‌های موقعیتی را می‌توان مقایسه کرد، نقص‌های جدید با مفاهیم کاملاً پذیرفته‌شده (مانند "برنده کندورسیت") شناسایی می‌شوند، و گسترش نتایج استاندارد (مثلاً تک قله بودن بلک) به دست آمده. بسیاری از این نتایج بر اساس \"مختصات نمایه\" معرفی شده در اینجا است که امکان \"دیدن\" مجموعه ترجیحات رای دهندگان ممکن را که منجر به نتایج مشخص شده انتخابات می شود را ممکن می سازد. بنابراین، اکنون امکان مقایسه بصری احتمال نتیجه گیری های مختلف وجود دارد. همچنین، هندسه برای روش‌های تقسیم‌بندی به کار می‌رود تا توضیحات جدیدی را نشان دهد که چرا چنین روش‌هایی می‌توانند مشکلات دردسرساز ایجاد کنند.

Over two centuries of theory and practical experience have taught us that election and decision procedures do not behave as expected. Instead, we now know that when different tallying methods are applied to the same ballots, radically different outcomes can emerge, that most procedures can select the candidate, the voters view as being inferior, and that some commonly used methods have the disturbing anomaly that a winning candidate can lose after receiving added support. A geometric theory is developed to remove much of the mystery of three-candidate voting procedures. In this manner, the spectrum of election outcomes from all positional methods can be compared, new flaws with widely accepted concepts (such as the "Condorcet winner") are identified, and extensions to standard results (e.g. Black's single-peakedness) are obtained. Many of these results are based on the "profile coordinates" introduced here, which makes it possible to "see" the set of all possible voters' preferences leading to specified election outcomes. Thus, it now is possible to visually compare the likelihood of various conclusions. Also, geometry is applied to apportionment methods to uncover new explanations why such methods can create troubling problems.