Geometry of Algebraic Curves: Volume I

در سال‌های اخیر فعالیت‌های زیادی در تئوری منحنی‌های جبری صورت گرفته است. بسیاری از مسائل قدیمی با استفاده از تکنیک های عمومی توسعه یافته در هندسه جبری در طول دهه های 1950 و 1960 حل شده اند. علاوه بر این، ارتباطات غیرمنتظره و عمیق بین منحنی های جبری و معادلات دیفرانسیل کشف شده است، و این به نوبه خود مسائل کلاسیک دیگر در نظریه منحنی را روشن می کند. منصفانه به نظر می رسد که بگوییم نظریه منحنی های جبری در حال حاضر کاملاً متفاوت از 15 سال پیش به نظر می رسد. به ویژه، وضعیت فعلی دانش ما نشان دهنده پیشرفت قابل توجهی فراتر از میراث به جا مانده از هندسه‌سنج‌های کلاسیک مانند Noether، Castelnuovo، ​​Enriques و Severi است. این کتاب ها یکی از حوزه های اصلی این فعالیت اخیر را ارائه می دهد. یعنی مطالعه سری های خطی هم روی یک منحنی ثابت (جلد I) و هم روی یک منحنی متغیر (جلد II). هدف ما ارائه یک گزارش جامع و مستقل از هندسه بیرونی منحنی‌های جبری است، که به نظر ما هسته هندسی اصلی پیشرفت‌های اخیر در نظریه منحنی را تشکیل می‌دهد. البته در طول مسیر، کاربردهای تئوری سری های خطی را در تعدادی از موضوعات کلاسیک (مانند هندسه مقسوم‌کننده تتا ریمان) و همچنین برخی از تحقیقات فعلی (مانند بعد کودایرا) مورد بحث قرار خواهیم داد. فضای مدول منحنی ها).

In recent years there has been enormous activity in the theory of algebraic curves. Many long-standing problems have been solved using the general techniques developed in algebraic geometry during the 1950's and 1960's. Additionally, unexpected and deep connections between algebraic curves and differential equations have been uncovered, and these in turn shed light on other classical problems in curve theory. It seems fair to say that the theory of algebraic curves looks completely different now from how it appeared 15 years ago; in particular, our current state of knowledge repre­ sents a significant advance beyond the legacy left by the classical geometers such as Noether, Castelnuovo, Enriques, and Severi. These books give a presentation of one of the central areas of this recent activity; namely, the study of linear series on both a fixed curve (Volume I) and on a variable curve (Volume II). Our goal is to give a comprehensive and self-contained account of the extrinsic geometry of algebraic curves, which in our opinion constitutes the main geometric core of the recent advances in curve theory. Along the way we shall, of course, discuss appli­ cations of the theory of linear series to a number of classical topics (e.g., the geometry of the Riemann theta divisor) as well as to some of the current research (e.g., the Kodaira dimension of the moduli space of curves).