Geometry from Dynamics, Classical and Quantum

این کتاب با استفاده از تکنیک‌های ابتدایی توضیح می‌دهد که چگونه برخی از ساختارهای هندسی که امروزه به طور گسترده در بسیاری از زمینه‌های فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیرند، مانند سمپلتیک، پواسون، لاگرانژ، هرمیت و غیره، از دینامیک بیرون می‌آیند. فرض بر این است که آنچه در تجارب واقعی هنگام مطالعه یک سیستم خاص قابل دسترسی است فقط رفتار دینامیکی آن است که با استفاده از یک خانواده از متغیرها (\"مشاهده‌پذیر\" سیستم) توصیف می‌شود. این کتاب از این اصل که «ابتدا دینامیک است» دور می‌شود و سپس سعی می‌کند پاسخ دهد به چه معنا دینامیک تنها ساختارهای هندسی را تعیین می‌کند که برای توصیف دینامیک در بسیاری از موارد مهم بسیار مفید بوده‌اند. در این راستا نشان داده شده است که بیشتر ساختارهای هندسی که در ارائه استاندارد دینامیک کلاسیک استفاده می‌شوند (ژاکوبی، پواسون، سمپلتیک، هامیلتونی، لاگرانژ) به تنهایی توسط دینامیک تعیین می‌شوند. همین برنامه برای ساختارهای هندسی مربوط به توصیف دینامیک کوانتومی انجام می شود. در نهایت، نشان داده می‌شود که ویژگی‌های بیشتری که امکان توصیف صریح دینامیک سیستم‌های دینامیکی خاص را فراهم می‌کنند، مانند یکپارچگی و فوق‌ادغام‌پذیری، عمیقاً با توسعه قبلی مرتبط هستند و در قسمت آخر کتاب پوشش داده خواهد شد. چارچوب ریاضی مورد استفاده برای ارائه برنامه قبلی تا سطح ابتدایی در سراسر متن نگهداری می‌شود، که نشان می‌دهد در کجا به مفاهیم پیشرفته‌تری برای ادامه کار نیاز است. خانواده ای از مثال های مرتبط به طور مفصل مورد بحث قرار گرفته و ایده های لازم از هندسه در طول متن شرح داده شده است. با این حال، هیچ تلاشی برای ارائه یک مقدمه جامع برای هندسه دیفرانسیل انجام نشده است، زیرا بسیاری از کتاب های دیگر در حال حاضر در بازار وجود دارند که دقیقاً این کار را انجام می دهند. با این حال، توسعه برنامه قبلی، که به عنوان طرح و حل یک مسئله معکوس تعمیم یافته برای هندسه در نظر گرفته می شود، منجر به روش های جدیدی از تفکر و ارتباط برخی از برجسته ترین ساختارهای هندسی می شود که در ریاضیات و فیزیک نظری ظاهر می شوند.

This book describes, by using elementary techniques, how some geometrical structures widely used today in many areas of physics, like symplectic, Poisson, Lagrangian, Hermitian, etc., emerge from dynamics. It is assumed that what can be accessed in actual experiences when studying a given system is just its dynamical behavior that is described by using a family of variables ("observables" of the system). The book departs from the principle that ''dynamics is first'' and then tries to answer in what sense the sole dynamics determines the geometrical structures that have proved so useful to describe the dynamics in so many important instances. In this vein it is shown that most of the geometrical structures that are used in the standard presentations of classical dynamics (Jacobi, Poisson, symplectic, Hamiltonian, Lagrangian) are determined, though in general not uniquely, by the dynamics alone. The same program is accomplished for the geometrical structures relevant to describe quantum dynamics. Finally, it is shown that further properties that allow the explicit description of the dynamics of certain dynamical systems, like integrability and super integrability, are deeply related to the previous development and will be covered in the last part of the book. The mathematical framework used to present the previous program is kept to an elementary level throughout the text, indicating where more advanced notions will be needed to proceed further. A family of relevant examples is discussed at length and the necessary ideas from geometry are elaborated along the text. However no effort is made to present an ''all-inclusive'' introduction to differential geometry as many other books already exist on the market doing exactly that. However, the development of the previous program, considered as the posing and solution of a generalized inverse problem for geometry, leads to new ways of thinking and relating some of the most conspicuous geometrical structures appearing in Mathematical and Theoretical Physics.