Geometrische Strukturen der Kontinuumsphysik

Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Algebraische Grundlagen
	2.1 Mengen
	2.2 Abbildungen
	2.3 Äquivalenzrelationen
	2.4 Gruppen
		2.4.1 Definition und Beispiele
		2.4.2 Untergruppen und Normalteiler
	2.5 Ringe und Körper
		2.5.1 Definitionen und Beispiele
		2.5.2 Körper der komplexen Zahlen
	2.6 Homomorphismen
	2.7 Vektorräume
		2.7.1 Definitionen und Beispiele
		2.7.2 Vektorraum - Homomorphismen
	2.8 Duale Vektorräume
		2.8.1 Dualitäten
		2.8.2 Duale Abbildungen
	2.9 Matrizen
		2.9.1 Homomorphismen und Matrizen
		2.9.2 Matrizenarithmetik
	2.10 Basistransformationen
		2.10.1 Basis- und Koordinatentransformationen
		2.10.2 Transformationsformeln für Homomorphismen
	2.11 Determinanten
		2.11.1 Definition und Eigenschaften
		2.11.2 Permutationen
		2.11.3 Formeln von Leibniz und Laplace
		2.11.4 Determinante eines Endomorphismus
	2.12 Orientierung von Vektorräumen
3 Euklidische Geometrie
	3.1 Bilinearformen
		3.1.1 Definitionen und Beispiele
		3.1.2 Isomorphismus V ≃ V*
		3.1.3 Adjungierter Homomorphismus
	3.2 Euklidische Vektorräume
		3.2.1 Definitionen und Beispiele
		3.2.2 Assoziierte Vektoren
	3.3 Orthogonalität
		3.3.1 Orthogonale Vektoren
		3.3.2 Orthogonalität in pseudo-Euklidischen Vektorräumen
		3.3.3 Kreuzprodukt
	3.4 Orthogonale Endomorphismen
		3.4.1 Definition und Eigenschaften
		3.4.2 Matrixdarstellung orthogonaler Endomorphismen
		3.4.3 Spezielle orthogonale Endomorphismen
	3.5 Lorentz-Räume
		3.5.1 Allgemeine Lorentz-Raum Struktur
		3.5.2 Lorentz-Transformationen
	3.6 Affine Räume
		3.6.1 Definitionen
		3.6.2 Affine Abbildungen
		3.6.3 Affine Koordinatensysteme
		3.6.4 Koordinatendarstellung affiner Abbildungen
		3.6.5 Affine Unterräume
		3.6.6 Erlanger Programm
	3.7 Euklidische Räume
		3.7.1 Definitionen und Eigenschaften
		3.7.2 Die Euklidische Gruppe
4 Raumzeit
	4.1 Affine Raumzeit
	4.2 Galilei-Raumzeit
	4.3 Lorentz-Raumzeit
		4.3.1 Lichtkegel
		4.3.2 Kausalität der Lorentz-Raumzeit
		4.3.3 Weltlinien und Eigenzeit
		4.3.4 Simultane Hyperflächen und Ruhräume
		4.3.5 Kinematik
		4.3.6 Poincare-Gruppe
		4.3.7 Dynamik
5 Tensoren
	5.1 Bilineare und Multilineare Abbildungen
	5.2 Tensorprodukte
		5.2.1 Tensorprodukt zweier Vektorräume
		5.2.2 Höhergradige Tensorprodukte
	5.3 Tensorabbildungen
		5.3.1 Produkt von Tensoren
		5.3.2 Assoziierte Tensoren
		5.3.3 Kontraktion
		5.3.4 Pull-back und Push-forward
	5.4 Symmetrische Multilinearformen
	5.5 Alternierende Multilinearformen
		5.5.1 Definition und Eigenschaften
		5.5.2 Äußeres Produkt
		5.5.3 Dualität und innere Produkte
		5.5.4 Äußere (Grassmann) Algebra
	5.6 Hodge-Dualität
6 Mannigfaltigkeiten
	6.1 Topologische Räume
	6.2 Differenzierbare Funktionen
	6.3 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
	6.4 Quotientenmannigfaltigkeiten
	6.5 Projektive Räume
	6.6 Glatte Abbildungen
	6.7 Untermannigfaltigkeiten
		6.7.1 Untermannigfaltigkeiten als Nullstellenmengen
		6.7.2 Parametererzeugte Untermannigfaltigkeiten
		6.7.3 Allgemeines zu Untermannigfaltigkeiten
	6.8 Zerlegung der Eins
7 Lokalisierungen und Felder
	7.1 Tangentialräume
		7.1.1 Geometrische Interpretation von Tangentialräumen
		7.1.2 Physikalische Interpretation von Tangentialräumen
		7.1.3 Algebraische Interpretation von Tangentialräumen
	7.2 Struktur der Tangentialräume
		7.2.1 Struktur des Tangentialraumes Tp(M)
		7.2.2 Struktur des Kotangentialraumes T*p (M)
	7.3 Tangentialbündel
	7.4 Tangentiale (Differentiale)
	7.5 Vektorfelder
		7.5.1 Richtungsableitung bezüglich eines Vektorfeldes
		7.5.2 Vektorfelder als Derivationen
		7.5.3 Kommutator über Vektorfelder
		7.5.4 Kovariante Vektorfelder
	7.6 Vektorbündel und Tensorfelder
	7.7 Pull-back und push-forward
8 Differentialformen
	8.1 Äußere Algebra der Differentialformen
	8.2 Pull-back zu Differentialformen
	8.3 Äußere Ableitung
	8.4 Poincare-Lemma
	8.5 De Rham-Komplex
9 Fluss und Lie-Ableitung
	9.1 Fluss eines Vektorfeldes
	9.2 Derivationen
	9.3 Lie-Ableitung
		9.3.1 Lie-Ableitung für Vektorfelder
		9.3.2 Lie-Ableitung für Tensorfelder
	9.4 Lie-Ableitung zu Differentialformen
	9.5 Integral-Mannigfaltigkeiten
10 Zusammenhang
	10.1 Affiner Zusammenhang
	10.2 Kovariante Ableitungen
	10.3 Paralleltransport
	10.4 Holonomie
	10.5 Geodäten
	10.6 Torsion
	10.7 Krümmung
	10.8 Zusammenhänge im Cartan-Kalkül
11 Riemannsche Geometrie
	11.1 Mannigfaltigkeiten mit innerem Produkt
	11.2 Induzierte Riemannsche Mannigfaltigkeiten
	11.3 Isometrische Abbildungen
	11.4 Levi-Civita-Zusammenhang
	11.5 LC-Zusammenhang über Differentialformen
	11.6 Induzierte Levi-Civita-Zusammenhänge
	11.7 Krümmung
	11.8 Schnittkrümmungen
	11.9 Hyperflächen im Rm+1
	11.10 Einstein-Räume und Einstein-Tensoren
	11.11 Geodäten
		11.11.1 Exponentialabbildung
		11.11.2 Normalkoordinaten
		11.11.3 Variation von Kurven - Geodäten kürzester Länge
12 Integrale und Variationen
	12.1 Orientierung
	12.2 Mannigfaltigkeiten mit Rand
	12.3 Riemann-Integrale
	12.4 Volumenformen
	12.5 Integrale über Differentialformen
	12.6 Integralsatz von Stokes
	12.7 Variationsrechnung
	12.8 Noether-Theorem
13 Differentialoperatoren
	13.1 Gradient und Rotation
	13.2 Divergenz
	13.3 Kodifferential
	13.4 Hodge-Laplace-Operator
	13.5 Cartan-Kalkül
	13.6 Integralsätze
14 Elektro-magnetische Felder
	14.1 Maxwell-Gleichungen
	14.2 Relativistische Elektrodynamik
	14.3 Energie und Impuls
15 Gravitation
	15.1 Newtonsche Gravitationstheorie
	15.2 Äquivalenzprinzip
	15.3 Blätterung der Raumzeit
	15.4 Energie-Impuls-Tensor
	15.5 Einsteinsche Feldgleichungen
	15.6 3+1 Formalismus
16 Kontinuumsmechanik
	16.1 Kinematik deformierbarer Körper
		16.1.1 Deformation und Verzerrung
		16.1.2 Bewegung in der Zeit
		16.1.3 Objektivität
	16.2 Kinetik deformierbarer Körper
		16.2.1 Massebilanz
		16.2.2 Master-Bilanz und Cauchy-Theorem
		16.2.3 Impulsbilanzen und Spannungen
		16.2.4 Energiebilanz
	16.3 Konstitutive Gleichungen
		16.3.1 Elastisch deformierbare Körper
		16.3.2 Gase und Flüssigkeiten
A Nomenklatur
Literaturverzeichnis
Symbol- und Stichwortverzeichnis