Geometrie differentielle, groupes et algebres de Lie, fibers et connexions

Introduction......Page 5
Définitions des variétés......Page 6
Espace tangent......Page 11
Champs de vecteurs......Page 14
Espace cotangent......Page 16
Applications différentiables entre variétés......Page 18
Tenseurs et formes différentielles......Page 20
Rappel sur les tenseurs......Page 21
Tenseurs sur une variété......Page 23
Formes différentielles......Page 24
Différentielle......Page 26
Dérivée de Lie......Page 27
Intégration......Page 30
Connexions......Page 33
Torsion et courbure......Page 36
Métrique......Page 40
Connexion de Lévi-Civita......Page 43
Coordonnées normales......Page 45
Bases non-coordonnées, repères locaux......Page 46
Théorie de Hodge......Page 50
Exemple de R3......Page 51
Le groupe fondamental......Page 57
Revêtement universel......Page 59
Groupes d'homotopie d'ordres supérieurs......Page 61
Groupes topologiques et groupes de Lie......Page 62
Algèbres de Lie......Page 64
Algèbre de Lie d'un groupe de Lie......Page 65
Application exponentielle......Page 68
Définitions......Page 70
Champ de vecteurs fondamental......Page 71
Orbite d'une action, espaces quotients, espaces homogènes......Page 73
Représentations de groupes......Page 74
Généralités sur les représentations......Page 75
Représentations de groupes finis......Page 81
Représentations de groupes compacts......Page 87
Algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie......Page 90
Dualité sur une algèbre de Lie......Page 92
Représentations d'algèbres de Lie......Page 97
Représentations adjointe et coadjointe......Page 100
Formes bilinéaires......Page 103
Algèbres de Lie et semi-simplicité......Page 106
Les groupes Spin......Page 108
Le groupe des rotations......Page 109
Le groupe de Lorentz......Page 112
Notions de fibrés......Page 117
Fibré principal......Page 118
Fibré de fibre quelconque......Page 124
Fibré vectoriel......Page 126
Opérations sur les fibrés......Page 128
Fibrés associés......Page 133
Connexions......Page 137
Formes à valeurs vectorielles......Page 141
Formes tensorielles......Page 142
Différentielle covariante......Page 145
Courbure......Page 147
Le groupe de jauge et son action......Page 149
Relèvement horizontal, groupe d'holonomie......Page 152
Du fibré principal au fibré vectoriel associé......Page 154
Dérivation covariante et connexion......Page 155
Préliminaires......Page 161
La 1-forme de connexion et la courbure......Page 165
La différentielle covariante......Page 167
Le fibré principal L(M)......Page 169
Connexions linéaires......Page 171
La torsion revisitée......Page 173
Classes caractéristiques......Page 176
L'homomorphisme de Weil......Page 177
Classes et caractères de Chern......Page 181
Classe d'Euler......Page 183
Index......Page 184