Geometric Theory of Foliations

به طور شهودی، یک شاخ و برگ مربوط به تجزیه یک منیفولد به اتحادیه‌ای از چندمنیفولدهای متصل و ناهمگون از یک بعد، به نام برگ است که به صورت محلی مانند صفحات یک کتاب روی هم انباشته می‌شوند. تئوری شاخ و برگ، همانطور که شناخته شده است، با کار C. Ehresmann و G. Reeb، در 1940 آغاز شد. با این حال، همانطور که خود ریب مشاهده کرده است، در قرن گذشته پی. پین لیو ضرورت ایجاد یک نظریه هندسی (از برگ‌ها) را به منظور درک بهتر مسائل در مطالعه حل معادلات دیفرانسیل هولومورفیک در میدان پیچیده مشاهده کرد. با این حال، توسعه تئوری شاخ و برگ ها با سؤال زیر در مورد توپولوژی منیفولدها که توسط H. Hopf در 3 1930 مطرح شد برانگیخت: «آیا در کره اقلیدسی S یک میدان برداری کاملاً یکپارچه وجود دارد، یعنی یک میدان. X به گونه ای که X· curl X • 0؟\" با قضیه فروبنیوس، این سوال معادل با زیر است: \"آیا روی 3 کره S یک شاخ و برگ دوبعدی وجود دارد؟\" به این سوال توسط ریب پاسخ مثبت داده شد. در پایان نامه خود، جایی که او 3 نمونه ای از یک برگ S را با ویژگی های زیر ارائه می دهد: یک برگ فشرده همومورف به چنبره دو بعدی وجود دارد، در حالی که برگ های دیگر همومورف به صفحات دو بعدی هستند که به طور مجانبی روی صفحه تجمع می یابند. برگ فشرده علاوه بر این، شاخ و برگ C\"\".

Intuitively, a foliation corresponds to a decomposition of a manifold into a union of connected, disjoint submanifolds of the same dimension, called leaves, which pile up locally like pages of a book. The theory of foliations, as it is known, began with the work of C. Ehresmann and G. Reeb, in the 1940's; however, as Reeb has himself observed, already in the last century P. Painleve saw the necessity of creating a geometric theory (of foliations) in order to better understand the problems in the study of solutions of holomorphic differential equations in the complex field. The development of the theory of foliations was however provoked by the following question about the topology of manifolds proposed by H. Hopf in the 3 1930's: "Does there exist on the Euclidean sphere S a completely integrable vector field, that is, a field X such that X· curl X • 0?" By Frobenius' theorem, this question is equivalent to the following: "Does there exist on the 3 sphere S a two-dimensional foliation?" This question was answered affirmatively by Reeb in his thesis, where he 3 presents an example of a foliation of S with the following characteristics: There exists one compact leaf homeomorphic to the two-dimensional torus, while the other leaves are homeomorphic to two-dimensional planes which accu­ mulate asymptotically on the compact leaf. Further, the foliation is C"".