Geometric Phases in Classical and Quantum Mechanics

این کار مفهوم فیزیکی زیبا و مهمی را که به عنوان «فاز هندسی» شناخته می‌شود، بررسی می‌کند و پدیده‌های فیزیکی مختلف را تحت یک طرح ریاضی و فیزیکی یکپارچه گرد هم می‌آورد.

چندین روش هندسی و توپولوژیکی به خوبی تثبیت شده بر رفتار ریاضی موضوع تأکید می‌کنند و بر دیدگاه منسجم در سطحی نسبتاً پیچیده تأکید می‌کنند. آنچه در این متن منحصر به فرد است این است که هر دو فاز کوانتومی و کلاسیک از نقطه نظر هندسی مورد مطالعه قرار می گیرند و بینش های ارزشمندی را در رابطه با آنها ارائه می دهند که قبلاً در سطح کتاب درسی مورد تأکید قرار نگرفته است.

موضوعات و ویژگی‌های کلیدی:

• مواد پس‌زمینه ابزارهای ریاضی پایه را در منیفولدها و فرم‌های دیفرانسیل ارائه می‌دهند.

• ثابت‌های توپولوژیکی (کلاس‌های چرن و نظریه هموتوپی) به زبانی ساده و ملموس، با تأکید بر کاربردهای فیزیکی توضیح داده شده‌اند.

• فاز آدیاباتیک بری و تعمیم آن معرفی شده است.

• نمایش سیستماتیک هندسه‌های مختلف (مانند ساختارهای سمپلتیک و متریک) را که در یک فضای فاز کوانتومی زندگی می‌کنند، در ارتباط با فازهای آبلی و غیرآبلی بررسی می‌کند.

• مکانیک کوانتومی به عنوان دینامیک کلاسیک همیلتونی در فضای هیلبرت تصویری ارائه شده است.

• فاز و زوایای آدیاباتیک کلاسیک هانای توضیح داده شده است.

• بررسی رویکرد انقلابی بری و رابینز به اسپین- آمار.

• فصلی در مورد مثال ها و کاربردها راه را برای مطالعات مداوم مراحل هندسی هموار می کند.

• مسائل در پایان هر فصل.

• کتابشناسی و فهرست گسترده.

دانشجویان فارغ التحصیل در رشته ریاضیات با دانش قبلی از مکانیک کوانتومی در مورد کلاسی از کاربردهای هندسه دیفرانسیل و روش های هندسی در نظریه کوانتومی یاد خواهند گرفت. فیزیکدانان و دانشجویان فارغ التحصیل در رشته فیزیک، تکنیک های هندسه دیفرانسیل را در زمینه کاربردی یاد خواهند گرفت.

This work examines the beautiful and important physical concept known as the 'geometric phase,' bringing together different physical phenomena under a unified mathematical and physical scheme.

Several well-established geometric and topological methods underscore the mathematical treatment of the subject, emphasizing a coherent perspective at a rather sophisticated level. What is unique in this text is that both the quantum and classical phases are studied from a geometric point of view, providing valuable insights into their relationship that have not been previously emphasized at the textbook level.

Key Topics and Features:

• Background material presents basic mathematical tools on manifolds and differential forms.

• Topological invariants (Chern classes and homotopy theory) are explained in simple and concrete language, with emphasis on physical applications.

• Berry's adiabatic phase and its generalization are introduced.

• Systematic exposition treats different geometries (e.g., symplectic and metric structures) living on a quantum phase space, in connection with both abelian and nonabelian phases.

• Quantum mechanics is presented as classical Hamiltonian dynamics on a projective Hilbert space.

• Hannay’s classical adiabatic phase and angles are explained.

• Review of Berry and Robbins' revolutionary approach to spin-statistics.

• A chapter on Examples and Applications paves the way for ongoing studies of geometric phases.

• Problems at the end of each chapter.

• Extended bibliography and index.

Graduate students in mathematics with some prior knowledge of quantum mechanics will learn about a class of applications of differential geometry and geometric methods in quantum theory. Physicists and graduate students in physics will learn techniques of differential geometry in an applied context.