Geometric Galois Actions, Volume 2: The Inverse Galois Problem, Moduli Spaces, and Mapping Class Groups

GEOMETRIC GALOIS ACTIONS 2: THE INVERSE GALOIS PROBLEM, MODULI SPACES AND MAPPING CLASS GROUPS......Page 1
London Mathematical Society Lecture Note Series......Page 2
Title......Page 4
9780521596411......Page 5
Table of Contents......Page 6
Introduction......Page 8
Abstracts of the talks......Page 12
Part I: Dessins d\'enfants......Page 22
0 Introduction......Page 24
2.1 Composition factors......Page 25
3 Combinatorial structures help to see the edge rotation groups......Page 27
3.2 Biplane......Page 28
4.1 Results......Page 29
4.2 Techniques of computation......Page 32
References......Page 34
0 Introduction......Page 36
1 The absolute Galois group......Page 39
2 Belyĭ\'s Theorem......Page 41
3.1 Triangulations......Page 43
3.3 Hypermaps......Page 45
3.4 Maps......Page 46
4 Belyĭ pairs and permutations......Page 47
5 Belyĭ\'s Theorem and uniformisation......Page 51
6 Plane trees and Shabat polynomials......Page 54
7 Examples of plane trees and their groups......Page 57
Invariance of monodromy and cartographic groups......Page 67
Invariance of automorphism groups......Page 71
Invariance of branching-partitions......Page 72
References......Page 74
1 Introduction......Page 78
2 Identifying congruence subgroups......Page 79
3 Enlarging subgroups......Page 82
4 Remarks and acknowledgements......Page 87
References......Page 88
0 Introduction......Page 90
1.1 Description combinatoire......Page 93
1.2 Groupes diédraux et polynômes de Tchebychev......Page 94
1.4 Action du groupe de Galois......Page 96
1.5 Exemples......Page 98
2.1 Description combinatoire......Page 99
2.2 Dessins orientables......Page 100
2.4 Expression combinatoire de l\'invariant n[sub(D)]......Page 102
2.5.1 Inversion du problème......Page 106
2.5.2 Les sous-groupes de congruence de Γ[sub(1)](n) et le caractère Ψ[sub(n)]......Page 108
2.5.3 Les fonctions F[sub(a,b)](τ) et F[sub(m)](τ)......Page 109
2.5.4 Comportement à l\'infini. La fonction θ......Page 110
2.5.5 Quelques propriétés des formes F[sub(m)]......Page 112
2.5.6 La forme modulaire Θ[sub(n)]......Page 114
2.5.7 Les coefficients de Θ[sub(n)]......Page 115
2.5.8 Exemples......Page 116
3.1 Réalisation de Γ[sub(ab)] = Gal(Q̅[sub(ab)]/Q)......Page 118
3.2 Réalisation de Gal(Q̅(i)[sub(ab)/Q)......Page 119
3.3 Applications......Page 124
References......Page 126
Part II: The Inverse Galois Problem......Page 128
1 Introduction......Page 130
2.1.2 Second circle......Page 132
2.1.3 Conclusion......Page 134
2.2.1 Statement of the Main Conjecture......Page 135
2.2.2 Relation with other conjectures......Page 136
2.2.3 Further comments......Page 137
3.1 Ample fields......Page 139
3.2 Main results......Page 141
4.1 The Regular Inverse Galois Problem over K((x))(T)......Page 144
4.2 Specialization argument (see also [Ja4;Prop.2.2])......Page 145
References......Page 147
0 Introduction......Page 150
1 Artin\'s braid group......Page 151
2 Coverings......Page 152
3 Varieties associated with the Coxeter group of type C[sub(ℓ)]......Page 155
4 Choosing the group G......Page 157
5 Generators of the symplectic braid group......Page 159
References......Page 161
0 Introduction to the main problem......Page 162
0.B The Main Conjectures......Page 163
0.C Obstructed components of a Modular Tower......Page 165
0.D Disappearance of obstructed components for k large......Page 166
1 Precise versions of the main conjecture......Page 167
1.A Notation for Q moduli spaces......Page 168
1.B Fix conjugacy classes, change the group......Page 169
1.C Braid action and PSL[sub(2)](C) quotients......Page 170
2.A Relation of [sub(p)]G̃ to [sub(p)]H̃ with H ≤ G......Page 171
2.B Decomposing Frattini cover kernels......Page 173
3.A Illustration of obstructed components......Page 174
3.B Invariants for obstructed components......Page 177
4.A Lifting elements of order p......Page 179
4.B Irrational characters......Page 180
4.C Conjecture 1.4 reduces to Modular Tower property (1.2a)......Page 181
Appendix I. Nielsen classes and Modular Towers......Page 182
App.II.B Extending PSL[sub(2)](C) action to H(G, C)......Page 184
References......Page 185
Part III: Galois actions and mapping class groups......Page 188
Makoto Matsumoto......Page 190
0 Introduction......Page 191
1.2 Humphries generators and Artin group of E[sub(7)]-type......Page 193
1.3 Variety V(E[sub(7)])......Page 195
2 Tangential morphisms......Page 199
2.1 Tangential morphisms......Page 200
2.2 Homotopy between tangential morphisms......Page 202
2.3 Composition of tangential morphisms......Page 203
2.4.2 Analytification of a tangential point......Page 205
2.4.3 Compatibility......Page 207
2.4.4 Identifiable tangential points......Page 209
2.5.2 Another example......Page 210
3.1 Motivation......Page 212
3.2.1 E[sub(7)] root system......Page 213
3.2.2 Blow up......Page 214
3.3 P[sup(1)][sub(01∞)] and P[sup(1)][sub(0±1∞)]......Page 216
3.4.1 τ[sub(i)] (i = 2,3,4,5)......Page 217
3.4.3 τ[sub(7)] and τ[sub(8)]......Page 220
3.5 The result on E[sub(7)] and M[sub(3)]......Page 223
3.6.1 A[sub(n)]......Page 224
3.6.2 B[sub(n)], C[sub(n)]......Page 225
3.6.3 D[sub(n)]......Page 226
References......Page 227
0 Introduction......Page 230
1 Canonical connection with logarithmic singularities......Page 238
2 The Gauss–Manin connection associated with the morphism X[sup(Δ[1])] → X[sup(∂Δ[1])] of cosimplicial schemes......Page 242
3 Homotopy relative tangential base points on P[sup(1)](C)\\{a[sub(1)], …, a[sub(n+1)]}......Page 248
4 Generators of π[sub(1)](P[sup(1)](C)\\{a[sub(1), …,a[sub(n+1)]},x)......Page 252
5 Monodromy of iterated integrals on P[sup(1)](C)\\{a[sub(1)], …, a[sub(n+1)]}......Page 253
6 Calculations......Page 256
7 Configuration spaces......Page 259
8.1 Introduction......Page 264
8.2 Integration of ω......Page 265
9 Subgroups of the groups of automorphisms......Page 270
10.1 Unipotent affine algebraic groups and torsors......Page 275
10.2 Affine pro-algebraic pro-unipotent groups and torsors......Page 278
11 Torsors associated to non-abelian unipotent periods......Page 279
12 Torsors associated to the canonical unipotent connection with logarithmic singularities......Page 281
13 Partial information about G[sub(DR)](P[sup(1)][sub(Q)]\\{0, 1, ∞})......Page 283
14 The group G[sub(DR)](V) for pointed projective lines and for configuration spaces......Page 290
15 Conjectures......Page 292
A.1 Malcev completion......Page 295
A.2 The torsor and the group corresponding to the Drinfeld–Ihara relation......Page 296
References......Page 298
Part IV: Universal Teichmüller theory......Page 302
0 Introduction......Page 304
1 Tesselations......Page 306
2 The Ptolemy Group......Page 310
3 The Transitive Completion......Page 314
4 Normalizers of Fuchsian Groups......Page 317
References......Page 322
0 Introduction......Page 324
1.2 Le groupe modulaire par morceaux......Page 325
1.3 Couples d\'arbres......Page 326
1.4 Couples de polygones triangulés......Page 328
2.1 Tesselations......Page 329
2.2 Le groupe universel de Ptolémée et l\'isomorphisme remarquable......Page 331
Références......Page 335
0 Introduction......Page 336
1 The universal Ptolemy groupoid......Page 338
2 Ribbon braids......Page 341
3 The universal Ptolemy–Teichmüller groupoid......Page 344
4 GT^ and the automorphism group of P̂[sub(∞)]......Page 351
5 Relations with the ordered Teichmüller groupoids......Page 356
References......Page 358
Errata for Tame and stratified objects (This article appeared in volume I of Geometric Galois Actions)......Page 360