Geometric aspects of general topology

این کتاب برای دانشجویان فارغ التحصیل طراحی شده است تا دانش تئوری بعد، نظریه ANR (نظریه پس گرفتن) و موضوعات مرتبط را کسب کنند. این دو نظریه با زمینه های مختلفی در توپولوژی هندسی و همچنین در توپولوژی عمومی مرتبط هستند. از این رو، برای دانشجویانی که مایل به تحقیق در موضوعات توپولوژی عمومی و هندسی هستند، درک این نظریه ها ارزشمند خواهد بود. بسیاری از اثبات‌ها با شکل‌ها یا نمودارها نشان داده می‌شوند که درک ایده‌های آن اثبات‌ها را آسان‌تر می‌کنند. اگرچه تمرین‌ها به این شکل گنجانده نشده‌اند، اما برخی از نتایج تنها با طرحی از اثبات‌هایشان ارائه شده‌اند. تکمیل شواهد با جزئیات، تمرین و آموزش خوبی برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی فراهم می کند و در کلاس ها یا سمینارهای فارغ التحصیل مفید خواهد بود.

محققان نیز باید این کتاب را بسیار مفید بدانند، زیرا حاوی موضوعات زیادی است که به طور معمول ارائه نمی شوند. کتاب های درسی، به عنوان مثال، کم نور X × I = کم نور X + 1 برای فضای اندازه گیری X; تفاوت بین ابعاد القایی کوچک و بزرگ؛ یک فضای ارثی بی‌بعدی؛ ANR فضاهای متریزه پذیر قابل شمارش-بعدی قابل انقباض محلی. فضای بی‌بعدی با ابعاد هم‌شناختی محدود. یک نقشه سلول مانند که ابعاد را افزایش می دهد. و یک فضای خطی متریک غیر AR. فصل آخر دانش‌آموزان را قادر می‌سازد تا درک کنند که این دو نظریه چقدر به هم مرتبط هستند.

کمپلکس‌های ساده در توپولوژی بسیار مفید هستند و برای مطالعه تئوری‌های ابعاد و ANR ضروری هستند. کتاب‌های درسی زیادی وجود دارد که می‌توان از آن‌ها اطلاعاتی در مورد این موضوعات به دست آورد، اما هیچ کتاب درسی در مورد مجتمع‌های ساده غیرمتناهی به تفصیل بحث نمی‌کند. پس وقتی با آنها مواجه می شویم باید به اصل اوراق مراجعه کنیم. به عنوان مثال، J.H.C. قضیه وایتهد در مورد تقسیمات کوچک بسیار مهم است، اما اثبات آن را نمی توان در هیچ کتاب درسی یافت. نوع هموتوپی کمپلکس های ساده در کتاب های درسی توپولوژی جبری با استفاده از کمپلکس های CW مورد بحث قرار گرفته است، اما استدلال های هندسی با استفاده از کمپلکس های ساده نسبتاً آسان است.

This book is designed for graduate students to acquire knowledge of dimension theory, ANR theory (theory of retracts), and related topics. These two theories are connected with various fields in geometric topology and in general topology as well. Hence, for students who wish to research subjects in general and geometric topology, understanding these theories will be valuable. Many proofs are illustrated by figures or diagrams, making it easier to understand the ideas of those proofs. Although exercises as such are not included, some results are given with only a sketch of their proofs. Completing the proofs in detail provides good exercise and training for graduate students and will be useful in graduate classes or seminars.

Researchers should also find this book very helpful, because it contains many subjects that are not presented in usual textbooks, e.g., dim X × I = dim X + 1 for a metrizable space X; the difference between the small and large inductive dimensions; a hereditarily infinite-dimensional space; the ANR-ness of locally contractible countable-dimensional metrizable spaces; an infinite-dimensional space with finite cohomological dimension; a dimension raising cell-like map; and a non-AR metric linear space. The final chapter enables students to understand how deeply related the two theories are.

Simplicial complexes are very useful in topology and are indispensable for studying the theories of both dimension and ANRs. There are many textbooks from which some knowledge of these subjects can be obtained, but no textbook discusses non-locally finite simplicial complexes in detail. So, when we encounter them, we have to refer to the original papers. For instance, J.H.C. Whitehead's theorem on small subdivisions is very important, but its proof cannot be found in any textbook. The homotopy type of simplicial complexes is discussed in textbooks on algebraic topology using CW complexes, but geometrical arguments using simplicial complexes are rather easy.