Geometria Riemanniana

1	Introdução
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2	Variedades diferenciáveis; espaço tangente
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3	Imersões e mergulhos; exemplos
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4	Outros exemplos de variedades. Ori entação
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Figura 11
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5	Campos de vetores; colchetes. Topologia das variedades
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Exercícios
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1	Introdução
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2	Métricas Riemannianas
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Exercícios
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1	Introdução
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2	Conexões afins
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vxy = e e
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X,-
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3	Conexão Riemanniana
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(9)	(Z, VyX> = í {X(Y, Z) + Y(Z, X) - Z(X. Yi
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Exercícios
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1	Introdução
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2	O fluxo geodésico
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3	Propriedades minimizantes das geodésicas
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4	Vizinhanças convexas
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Figura 4
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Exercícios
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1	Introdução
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2	Curvatura
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/,5GP(M), x1,x2,y1,y2g A*(M).
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+ [X, [z,y]] = o,
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(2)	= E r'fc r;( - E r'„ r-« + A r-4 - A r-t.
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3	Curvatura seccional
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4	Curvatura de Ricci e curvatura escalar
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5	Tensores em variedades Riemannianas
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vT(y,..., Yr, z) = z(T(Ylt..., y» - r(vzyi,..., y) 	T(Y1,...,Yr^zYrf
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vzx(Y) = vx(y, z) - z(x(y)) - x(vzy)
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Exercícios
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2	A equação de Jacobi
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3	Pontos conjugados
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Exercícios
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1	Introdução
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2	A segunda forma fundamental
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B(x,y) = vxy-vxy
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(S,(x),jz> = (B(x,r)(p),jv) = (VxK - vxr,Jv>(p)
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3	As equações fundamentais de uma imersão isométrica
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(Ã(X,y)r,,0 = {R\X,YM - (B(S„x,y),0 + (B(x,s„y),0
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-(B(y,vxz),t,>.
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Exercícios
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1	Introdução
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2	Variedades completas: Teorema de Hopf e Rinow
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3	O teorema de Hadamard
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ítn I dc I
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Exercícios
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1	Introdução
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2	Teorema de Cartan sobre a determinação da métrica por meio da curvatura
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3	O espaço hiperbólico
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4	As formas espaciais
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5	Isometrias do espaço hiperbólico; o teorema de Liouvillé
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Exercícios
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+ S(y,s(x,z»}.
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= (VxVyZ, w) -1 ([7. Z]’, [x,
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1	Introdução
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2	As fórmulas das primeira e segunda variações da energia
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= (dexpcW)„V(í) = r(t),
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3	O Teorema de Bonnet-Myers e o Teorema de Synge-Weinstein
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Exercícios
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- (v(0),sW(o)JW> W(o),J'(o))-
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/"(t) + £(t)/(t) = o, /(o) = o, te [0,4
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2	O Teorema de Rauch
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|js(o)| = |X(o)| = o, |j:(0)| = |j:(0)|
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3	Aplicação do Lema do índice à teoria das imersões
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4	Pontos focais e uma extensão do Teorema de Rauch
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^) = g(0,0) = ^(a(»))
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M = o.
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Exercícios
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2	O Teorema do índice
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Exercícios
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1 Introdução
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2 Existência de geodésicas fechadas
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3	O Teorema de Preissman
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1 Introdução
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2 O lugar dos pontos mínimos (cut locus)
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= (V,3	A estimativa do raio de injetividade
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4	O teorema da esfera
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5	Alguns desenvolvimentos posteriores
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índice Remissivo
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