Generators and Relations in Groups and Geometries

هر گروه به طرق مختلف به عنوان یک تصویر اپی‌مورفیک از یک گروه آزاد نشان داده می‌شود. بنابراین بیهوده به نظر می رسد جستجو برای روش هایی که شامل مولدها و روابطی هستند که می توانند برای تشخیص ساختار یک گروه استفاده شوند. با این وجود، نتایج در جهت مشخص شده وجود دارد. سرنخ این است که سوال درست بپرسید. هندسه کلاسیک یک مثال معمولی است که در آن فاکتورسازی یک حرکت به بازتاب ها یا به طور کلی تراز کردن یک حرکت به خطوط مرکزی، اطلاعات ارزشمندی را در مورد ساختار هندسی و جبری فراهم می کند. این روش تحقیق از اواخر قرن گذشته شتاب بیشتری به دست آورده است. سنت فعل و انفعال هندسی ـ جبری دو شاخه از تحقیق را به ارمغان آورد که در بخش های اول و دوم این مجموعه مقالات مستند شده است. بخش دوم به نظریه هندسه بازتابی می پردازد که در کار باخمن به اوج خود رسید، جایی که اطلاعات هندسی در ویژگی های گروه حرکات بیان شده توسط روابط در چرخش های مولد کدگذاری می شود. این رویکرد ستون فقرات طبقه‌بندی گروه‌های حرکتی برای سطوح کلاسیک واحد و متعامد است. بدیهیات در این شخصیت پردازی طبیعی و قابل قبول هستند. آنها مطالعه پیامدهای زیرمجموعه های بدیهیات را تحریک می کنند که هندسه های طبیعی را نیز به دست می دهند که کاوش آنها سودمند است. اصل اصلی باخمن قضیه سه انعکاسی است که نشان می دهد تعداد بازتاب های مورد نیاز برای بیان یک حرکت از اهمیت بالایی برخوردار است.

Every group is represented in many ways as an epimorphic image of a free group. It seems therefore futile to search for methods involving generators and relations which can be used to detect the structure of a group. Nevertheless, results in the indicated direction exist. The clue is to ask the right question. Classical geometry is a typical example in which the factorization of a motion into reflections or, more generally, of a collineation into central collineations, supplies valuable information on the geometric and algebraic structure. This mode of investigation has gained momentum since the end of last century. The tradition of geometric-algebraic interplay brought forward two branches of research which are documented in Parts I and II of these Proceedings. Part II deals with the theory of reflection geometry which culminated in Bachmann's work where the geometric information is encoded in properties of the group of motions expressed by relations in the generating involutions. This approach is the backbone of the classification of motion groups for the classical unitary and orthogonal planes. The axioms in this char­ acterization are natural and plausible. They provoke the study of consequences of subsets of axioms which also yield natural geometries whose exploration is rewarding. Bachmann's central axiom is the three reflection theorem, showing that the number of reflections needed to express a motion is of great importance.