Generalized Measure Theory

این متن جامع حوزه ریاضی نسبتاً جدید نظریه اندازه گیری تعمیم یافته را بررسی می کند. این حوزه، نظریه اندازه گیری کلاسیک را با کنار گذاشتن نیاز افزایشی و جایگزینی آن با الزامات مختلف ضعیف تر، گسترش می دهد. هر یک از این الزامات ضعیف‌تر، طبقه‌ای از اقدامات غیرافزودنی را مشخص می‌کند. این منجر به مفاهیم و روش‌های جدیدی می‌شود که به ما امکان می‌دهد با بسیاری از مشکلات به شیوه‌ای واقع‌بینانه‌تر برخورد کنیم. به عنوان مثال، به ما امکان می دهد با احتمالات غیر دقیق کار کنیم.

تئوری اندازه گیری تعمیم یافته به طور سیستماتیک آشکار می شود. این با مقدمات و مفاهیم جدید آغاز می‌شود، و سپس به بررسی دقیق نتایج مهم جدید در مورد انواع مختلف اقدامات غیرافزودنی و نظریه یکپارچه‌سازی مرتبط می‌پردازد. دومی شامل چندین نوع انتگرال است: انتگرال سوگنو، انتگرال Choquet، پان انتگرال و انتگرال پایین و بالایی. همه موضوعات با مثال‌های متعدد انگیزه داده شده‌اند که در فصل آخر کاربردهای نظریه اندازه‌گیری تعمیم‌یافته به اوج می‌رسد.

برخی از ویژگی‌های کلیدی کتاب عبارتند از: تمرین‌های فراوان در پایان هر فصل به همراه تاریخی و مرتبط یادداشت های کتابشناختی، کتابشناسی گسترده، و شاخص های نام و موضوع. این کار برای یک محیط کلاسی در سطح فارغ التحصیل در دوره ها یا سمینارهای ریاضیات کاربردی، علوم کامپیوتر، مهندسی و برخی از زمینه های علوم مناسب است. داشتن پیش زمینه مناسب در تجزیه و تحلیل ریاضی مورد نیاز است. از آنجایی که این کتاب حاوی نتایج اصلی بسیاری از نویسندگان است، برای محققانی که در حوزه نوظهور نظریه اندازه گیری تعمیم یافته کار می کنند نیز جذاب خواهد بود.

درباره نویسندگان:

Zhenyuan Wang. در حال حاضر استاد گروه ریاضیات دانشگاه نبراسکا در اوماها است. علایق تحقیقاتی وی در زمینه های اندازه گیری غیرافزودنی، انتگرال های غیرخطی، احتمال و آمار و داده کاوی بوده است. او یک کتاب و مقالات زیادی در این زمینه ها منتشر کرده است.

جرج جی کلیر در حال حاضر استاد برجسته علوم سیستمی در دانشگاه بینگهمتون (SUNY در بینگهمتون) است. او 29 کتاب و بیش از 300 مقاله در زمینه های مختلف منتشر کرده است. علایق تحقیقاتی فعلی او عمدتاً در زمینه‌های سیستم‌های فازی، محاسبات نرم و نظریه اطلاعات تعمیم‌یافته است.

This comprehensive text examines the relatively new mathematical area of generalized measure theory. This area expands classical measure theory by abandoning the requirement of additivity and replacing it with various weaker requirements. Each of these weaker requirements characterizes a class of nonadditive measures. This results in new concepts and methods that allow us to deal with many problems in a more realistic way. For example, it allows us to work with imprecise probabilities.

The exposition of generalized measure theory unfolds systematically. It begins with preliminaries and new concepts, followed by a detailed treatment of important new results regarding various types of nonadditive measures and the associated integration theory. The latter involves several types of integrals: Sugeno integrals, Choquet integrals, pan-integrals, and lower and upper integrals. All of the topics are motivated by numerous examples, culminating in a final chapter on applications of generalized measure theory.

Some key features of the book include: many exercises at the end of each chapter along with relevant historical and bibliographical notes, an extensive bibliography, and name and subject indices. The work is suitable for a classroom setting at the graduate level in courses or seminars in applied mathematics, computer science, engineering, and some areas of science. A sound background in mathematical analysis is required. Since the book contains many original results by the authors, it will also appeal to researchers working in the emerging area of generalized measure theory.

About the Authors:

Zhenyuan Wang is currently a Professor in the Department of Mathematics of University of Nebraska at Omaha. His research interests have been in the areas of nonadditive measures, nonlinear integrals, probability and statistics, and data mining. He has published one book and many papers in these areas.

George J. Klir is currently a Distinguished Professor of Systems Science at Binghamton University (SUNY at Binghamton). He has published 29 books and well over 300 papers in a wide range of areas. His current research interests are primarily in the areas of fuzzy systems, soft computing, and generalized information theory.