Gaussian Random Processes

این کتاب عمدتاً به سه مسئله مربوط به فرآیندهای ثابت گاوسی می پردازد. اولین مشکل شامل روشن کردن شرایط برای پیوستگی مطلق متقابل (معادل) توزیع‌های احتمال یک «بخش فرآیند تصادفی» و یافتن فرمول‌های مؤثر برای چگالی توزیع‌های معادل است. مشکل دوم ما توصیف کلاس‌هایی از اندازه‌های طیفی است که به نوعی با فرآیندهای ثابت منظم مطابقت دارند (به ویژه، ارضای "شرایط اختلاط قوی") و همچنین توصیف زیر کلاس‌های مرتبط با "نرخ اختلاط" \". سومین مشکل شامل تخمین یک مقدار میانگین مجهول یک فرآیند تصادفی است، این فرآیند تصادفی به جز میانگین آن ثابت است. ه. ، مشکل "تمایز سیگنال از نویز ثابت" است. علاوه بر این، ما در اینجا اطلاعات کمکی (در مورد توزیع در فضاهای هیلبرت، خواص توابع نمونه، قضایای توابع یک متغیر مختلط، و غیره) ارائه می دهیم. از سال 1958، بسیاری از ریاضیدانان مسئله هم ارزی توزیع های گاوسی بی بعدی مختلف را مطالعه کرده اند (برای مثال، ارائه دقیق و سیستماتیک نتایج اساسی را می توان در [23] یافت). در این کتاب ما فرآیندهای ثابت گاوسی را در نظر گرفته ایم و معتقدیم به راه حل های نسبتاً قطعی رسیده ایم. مشکل دوم که در بالا ذکر شد، ارتباط نزدیکی با مسائل مربوط به نظریه ارگودیک سیستم‌های دینامیکی گاوس و همچنین نظریه پیش‌بینی فرآیندهای ساکن دارد.

The book deals mainly with three problems involving Gaussian stationary processes. The first problem consists of clarifying the conditions for mutual absolute continuity (equivalence) of probability distributions of a "random process segment" and of finding effective formulas for densities of the equiva­ lent distributions. Our second problem is to describe the classes of spectral measures corresponding in some sense to regular stationary processes (in par­ ticular, satisfying the well-known "strong mixing condition") as well as to describe the subclasses associated with "mixing rate". The third problem involves estimation of an unknown mean value of a random process, this random process being stationary except for its mean, i. e. , it is the problem of "distinguishing a signal from stationary noise". Furthermore, we give here auxiliary information (on distributions in Hilbert spaces, properties of sam­ ple functions, theorems on functions of a complex variable, etc. ). Since 1958 many mathematicians have studied the problem of equivalence of various infinite-dimensional Gaussian distributions (detailed and sys­ tematic presentation of the basic results can be found, for instance, in [23]). In this book we have considered Gaussian stationary processes and arrived, we believe, at rather definite solutions. The second problem mentioned above is closely related with problems involving ergodic theory of Gaussian dynamic systems as well as prediction theory of stationary processes.