Fundamentos de la artimética

Indice
Prólogo...........................................................................
 5
Primera aproximación..................................................
 5
Definición de número cardinal.....................................
 6
Definición de número natural.....................................
 8
Analítico y sintético........................................................
 9
El programa logicista..................................................
 10
Introducción ............................................................................ 13
PRIMERA PARTE
LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA
1. En tiempos recientes es manifiesto en la matemá­
tica un esfuerzo por conseguir mayor rigor en las
pruebas y una determinación más precisa de los
conceptos...................................................................... 25
2. El examen debe extenderse, en último término,
hasta el concepto de número. Objetivo de la
prueba............................................................................ 25
3. Motivaciones filosóficas para esta investigación:
las cuestiones controvertidas sobre si las leyes
de los números son verdades analíticas o sinté­
ticas, a priori o a posteriori. Sentido de estas
expresiones...................................................................... 26
4. El objetivo de este libro.............................................27
I.
 Opiniones de algunos autores sobre la naturaleza
de los enunciados aritméticos
¿Son demostrables las fórmulas numéricas?
 .
 .
29
5.6.Kant lo niega, lo cual Hankel califica, con razón,
de paradójico................................................................29
La demostración de Leibniz de que 2+2=4 tiene
una laguna. La definición de Grassmann de a+b
es errónea..................................................
 30
7.8.La opinion de Mill de que las definiciones de cada
uno de los números afirman hechos observados,
es infundada................................................................ 32
Para la legitimidad de estas definiciones no es pre­
cisa la observación de tales hechos ....
 33
¿Son las leyes de la aritmética verdades inductivas?
 .
 34
9. La ley natural de Mili. Al decir Mili que las ver­
dades aritméticas son leyes naturales, las confun­
de con sus aplicaciones............................................. 34
10. Razones en contra de la afirmación de que las
leyes de la adición sean verdades inductivas: he­
terogeneidad de los números; por medio de la
definición de número no obtenemos ya todo un
conjunto de propiedades comunes de los núme­
ros; es probable que, a la inversa, la inducción
deba fundamentarse en la aritmética. ...
 36
11. Lo «innato» de Leibniz.................................... 38
¿Son las leyes de la aritmética sintéticas — a priori o
analíticas?............................................................ 38
12. Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. La intuición
interior como fundamento del conocimiento .
 .
 38
13. Distinción entre aritmética y geometría ...
 40
14. Comparación de las verdades según el dominio
sobre el que rigen.......................................................... 41
15. Opiniones de Leibniz y St. Jevons ....
 42
16. En contra de ellos, menosprecio de Mili por la
«manipulación artificiosa del lenguaje». Los signos
no están vacíos por el hecho de que no signifiquen
nada perceptible.......................................................... 42
17. Insuficiencia de la inducción. Posibilidad de opi­
nar que las leyes numéricas son juicios analíticos;
en qué radica su utilidad entonces. Valoración
de los juicios analíticos............................................. 43
II.
 Opiniones de algunos autores sobre el concepto
de número
18. Necesidad de investigar el concepto general de
número............................................................................. 45
19. La definición no debe ser geométrica ...
20. ¿Es el número definible? Hankel. Leibniz . .
¿Es el número una propiedad de cosas externas? .
 .
45
46
47
21.22.23.24.25.Opiniones de Μ. Cantor y E. Schröder ...
 47
En contra de ellos, Baumann sostiene: las cosas
externas no presentan unidad rigurosa alguna.
El número depende, aparentemente, de nuestro
punto de vista................................................................ 47
La opinión de Mili, según la cual el número sería
una propiedad de un agregado de cosas, resulta
insostenible................................................................49
Gran alcance de la aplicabilidad del número. Mili.
Locke. La figura metafísica incorpórea de Leibniz.
Si el número fuera algo sensible, no podría ser
atribuido a lo no sensible............................................. 49
La distinción física de Mili de 2 y 3. Según Ber­
keley, el número no existe realmente en las cosas,
sino que ha sido creado por el espíritu ...
 51
¿Es el número algo subjetivo?............................................. 52
26. La descripción que da Lipschitz de la formación
del número no es completamente adecuada y no
puede reemplazar una definición conceptual. El
número no es un objeto de la psicología, sino
algo objetivo...........................................
 52
27. El número no es, como pretende Schloemilch,
una imagen del lugar que ocupa un objeto en una
serie............................................................................ 54
El número como conjunto....................................................55
28. La denominación de Thomae ...
 .
 .
 55
III. Opiniones sobre la unidad y el uno
¿Expresa el numeral «uno» una propiedad de objetos?
29. Ambigüedad de las expresiones «μονας» y «uni­
dad». La definición que da E. Schröder de la
unidad como del objeto que es contado resulta
aparentemente inútil. El adjetivo «uno» no con-
16
57
tiene ninguna determinación ulterior del objeto,
por tanto, no puede servir como predicado . .
 57
30.
 Después de los intentos de definición de Leibniz
y Baumann, parece que el concepto de unidad
entró en una total confusión.......................................58
31.
 Los. criterios de Baumann sobre la indivisión y
la delimitación. La idea de unidad no nos es in­
ducida por cada objeto (Locke)................................ 58
32.
 Con todo, el lenguaje alude a una conexión con
la indivisión y la delimitación, aunque el sentido
se ha desplazado.....................................
 59
33.
 La indivisibilidad (G. Köpp) no es sostenible como
criterio de unidad................................................... 60
¿Son las unidades iguales entre sí? ....
 61
34. La igualdad como razón del nombre «unidad».
E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Por abs­
tracción de las diferencias entre las cosas no se
obtiene el concepto de número, ni por ello las
cosas llegan a ser iguales............................................. 61
35. La diferenciación es incluso necesaria, si se quie­
re hablar de pluralidad. Descartes. E. Schröder.
St. Jevons.................................................. ;
 .
 62
36. La idea de la diferenciación de las unidades tro­
pieza también con dificultades. Diversos «unos»
según St. Jevons..........................................................62
37. Las definiciones del número de Locke, Leibniz
y Hesse a partir de la unidad o del uno ...
 64
38. «Uno» es un nombre propio, «unidad» un término
conceptual. El número no puede ser definido a
partir de unidades. Diferencia entre «y» y « + ».
 64
39. La dificultad de conciliar igualdad y diferenciabi-
lidad queda disimulada por la ambigüedad del
término «unidad».......................................................... 66
Intentos de superar la dificultad
 .
 ...
 66
40. Espacio y tiempo como medios de diferenciación.
Hobbes. Thomae. En contra de ellos: Leibniz,
Baumann, St. Jevons................................................... 66
41. No se alcanza el objetivo propuesto ....
 68
42. El lugar en una serie como medio de diferencia­
ción. Lo que Hankel entiende por «colocar» . .
 68
43.44.Representación de los objetos por medio del sig­
no 1, según Schröder................................................... 69
La abstracción del carácter de las diferencias con­
servando su existencia, según Jevons. El 0 y el 1
son números como los demás. La dificultad per­
siste
 ............................................................................ 70
Solución de la dificultad
 .
 .
 72
45. Mirada retrospectiva................................................... 72
46. La asignación de número contiene una afirmación
sobre un concepto. Objeción de que, para un ob­
jeto permanente, puede variar el número. . .
 72
47. La facticidad de la asignación de número se ex­
plica por la objetividad del concepto ....
 73
48. Eliminación de algunas dificultades ....
 74
49. Confirmación de Spinoza............................................. 75
50. Exposición de E. Schröder.......................................75
51. Rectificación de la misma.......................................76
52. Algunas peculiaridades de la lengua alemana pue­
den servir de corroboración.......................................76
53. Diferencia entre características y propiedades de
un concepto. Existencia y número................................ 77
54. Unidad puede llamarse al sujeto de una asigna­
ción de número. Indivisibilidad y delimitación de
la unidad. Igualdad y diferenciabilidad ...
 78
IV. El concepto de número
Cada número es un objeto independiente .
.
81
55. Intento de completar las definiciones leibnizia-
nas de cada uno de los números................................ 81
56. Las definiciones intentadas son inutilizables por­
que definen una predicación de la que el número
es sólo una parte......................................................... 81
57. La asignación de número debe considerarse como
una ecuación entre números....................................... 82
58. Objeción a la idea de que no se puede imaginar
el número como un objeto independiente. En
general, el número es inimaginable ....
 83
59. Un objeto no debe ser excluido de la investigación
por el hecho de que sea inimaginable ...
 84
16·
60.61.Ni siquiera las cosas concretas siempre son ima­
ginables .....................................................................84
Objeción de la no-espacialidad de los números. No
toda cosa objetiva es espacial............................... 85
Para obtener el concepto de número, hay. que fijar el
sentido de una ecuación numérica ......
·
86
62. Necesitamos de una característica para la ecua­
ción numérica............................... ......
63. La aplicación biyectiva como tal. Objeción lógica
de que la igualdad se defina especialmente para
este caso...............................................................86
64. Ejemplos de un procedimiento análogo: la direc­
ción, la orientación de un plano, la forma de un
triángulo............................................................... 87
65. Intento de una definición. Segunda objeción: la de
si se satisfacen las leyes de la igualdad ....
66. Tercera objeción: la caracterización de la igual­
dad es insuficiente.................................................. 90
67. La compleción no puede lograrse tomando como
característica de un concepto el modo como se
introduce un objeto............................................ 91
68. El número como extensión de un concepto .
69. Explicación............................................................ 92
86
88
91
Resumen y confirmación de nuestra definición .
 93
70.
 El concepto relacional.......................................... 93
71.
 La aplicación mediante una relación ....
 95
72.
 La relación biyectiva. Concepto de número .
 . 96
73.
 El número que corresponde al concepto F es igual
al número que corresponde al concepto G, si hay
una relación que a los objetos que caen bajo F
les aplica biyectivamente los objetos que caen
bajo G..................................................................... 97
74. Cero es el número que corresponde al concepto
«desigual consigo mismo»...................................... 98
75. Cero es el número que corresponde a un con­
cepto, bajo el cual nada cae. Ningún objeto cae
bajo un concepto, si cero es el número que le co­
rresponde ............................................................... 99
76. Definición de la expresión «n sigue inmediata­
mente a m en la serie de los números naturales»
 100
77.78.79.80.81.82.83.1 es el número que corresponde al concepto «igual
a 0»................................................................................. 101
Enunciados que han de ser demostrados por me­
dio de nuestras definiciones..................................... 102
Definición de sucesión en una serie .... 102
Observaciones. Objetividad de la sucesión . . 103
Definición de la expresión «x pertenece a la se­
rie-0 que termina con y»........................................... 104
Indicación de la prueba de que no existe ningún
miembro último de la serie de los números na­
turales ........................................................................... 105
Definición del número finito. Ningún número finito
se sigue a sí mismo en la serie de los números
naturales.....................................
 106
Números infinitos.............................................................. 107
84. El número, que corresponde al concepto «nú­
mero finito» es un número infinito .... 107
85. Los números infinitos cantorianos. «Potencia».
Divergencia en la terminología............................... 107
86. La sucesión según Cantor, y mi concepto de su­
cesión ........................................................................... 108
V. Conclusión
87. La naturaleza de las leyes aritméticas . . . 111
88. El menosprecio de Kant por los juicios analíticos 111
89. La afirmación de Kant: «Sin la sensibilidad no nos
sería dado ningún objeto.» El mérito de Kant res­
pecto a la matemática........................................... 112
90. Para la demostración completa de la naturaleza
analítica de las leyes aritméticas, nos falta una
deducción sin lagunas.................................................. 113
91. Mi «ideografía» («Begriffschrift») puede poner po­
ner remedio a esta carencia..................................... 114
Otros números.....................................................................115
92. Sentido.de la pregunta acerca de la posibilidad
de los números, según Hankel............................... 115
93. Los números, ni están fuera de nosotros espacial­
mente, ni son subjetivos.....................................
 115
94. El que un concepto sea no contradictorio no ga­
rantiza que algo caiga bajo él, y además requiere
una demostración....................................................... 416
95. No es lícito considerar (c — b), sin más, como un
signo que resuelve el problema de la sustracción 117
96. Tampoco el matemático puede crear algo arbi­
trariamente ..................................................
 117
97. Hay que distinguir los conceptos de los objetos . 118
98. La definición de la adición según Hankel . . . 118
99. Deficiencias de la teoría formalista .... 119
100. Intento de introducción de los números comple;
jos, ampliando de modo especial el significado de
la multiplicación........................................................ 119
101. La posibilidad de una tal introducción no es indi­
ferente para la fuerza de una prueba . . . 120
102. La mera estipulación de que una operación debe
ser realizable no equivale al cumplimiento de la
estipulación.....................................................................121
103. La definición de Kossak de los números comple­
jos es solamente una indicación para la definición
y no evita la injerencia de algo ajeno. La repre­
sentación geométrica.................................................. 121
104. Lo que interesa es fijar el sentido de un juicio de
reconocimiento para los nuevos números . . . 122
105. El atractivo de la aritmética radica en su carác­
ter racional..................................................................... 123
106-109. Mirada retrospectiva........................................... 124
SEGUNDA PARTE
ESTUDIO DE LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA,
POR CLAUDE IMBERT
Observación previa para un lector matemático . . . 131
Trazado de los fundamentos de la Aritmética . . .
 135
La ideografía de Frege...............................
 139
Composición de los Fundamentos. Crítica de la con­
cepción común de número............................................149
Carácter de las proposiciones analíticas .... 153
Prioridad del número cardinal............................................155
La unidad................................................................................. 161
Naturaleza del concepto, primero y segundo orden
(nivel)
 .......................................................................... 167
Del concepto al número........................................................ 175
Abstracción y construcción lógica..................................... 185
Definición de los cardinales finitos..................................... 191
Los cardinales infinitos........................................................ 193
Los Fundamentos ante la crítica contemporánea. Ex­
tensión de concepto, clase, conjunto............................... 199
Del origen de los conceptos. Crítica de Kant . . . 207
Crítica de la aritmética formal........................................... 217
Los números reales.............................................................. 223
El racionalismo de Frege................................................. 227
Apéndice 1.......................................................................... 229
Apéndice 2. Nota sobre la ideografía............................... 231
índice.................................................................................239