Fundamentals of Diophantine Geometry

مسائل دیوفانتین برخی از قوی‌ترین جاذبه‌های زیبایی‌شناختی هندسه جبری را نشان می‌دهند. آنها عبارتند از ارائه معیارهایی برای وجود جواب معادلات جبری در حلقه ها و میدان ها و در نهایت برای تعداد چنین جواب هایی. حلقه اصلی مورد نظر حلقه اعداد صحیح معمولی Z است و میدان اصلی مورد علاقه میدان Q اعداد گویا است. شخص به سرعت درمی‌یابد که برای داشتن تمام آزادی فنی مورد نیاز در رسیدگی به مسائل کلی، باید حلقه‌ها و میدان‌هایی از نوع محدود را بر روی اعداد صحیح و گویا در نظر گرفت. علاوه بر این، می‌توان میدان‌های محدود، میدان‌های p-adic (شامل اعداد حقیقی و مختلط) را نیز به‌عنوان نشان‌دهنده محلی‌سازی مسائل مورد بررسی در نظر گرفت. ما با مشکلات جهانی که همه آنها ماهیت کیفی خواهند داشت، برخورد خواهیم کرد. از یک طرف منحنی هایی داریم که روی اعداد گویا تعریف شده اند. اگر منحنی وابسته باشد، می‌توان نقاط آن را در Z بپرسید، و به لطف سیگل، می‌توان تمام منحنی‌هایی را که دارای بی‌نهایت نقاط انتگرال هستند طبقه‌بندی کرد. این مشکل در فصل هفتم بررسی شده است. همچنین می‌توان مواردی را پرسید که دارای بی‌نهایت نکات عقلی هستند، و برای این، فقط حدس موردل وجود دارد که اگر جنس :;;; 2، پس فقط تعداد محدودی از نقاط گویا وجود دارد.

Diophantine problems represent some of the strongest aesthetic attractions to algebraic geometry. They consist in giving criteria for the existence of solutions of algebraic equations in rings and fields, and eventually for the number of such solutions. The fundamental ring of interest is the ring of ordinary integers Z, and the fundamental field of interest is the field Q of rational numbers. One discovers rapidly that to have all the technical freedom needed in handling general problems, one must consider rings and fields of finite type over the integers and rationals. Furthermore, one is led to consider also finite fields, p-adic fields (including the real and complex numbers) as representing a localization of the problems under consideration. We shall deal with global problems, all of which will be of a qualitative nature. On the one hand we have curves defined over say the rational numbers. Ifthe curve is affine one may ask for its points in Z, and thanks to Siegel, one can classify all curves which have infinitely many integral points. This problem is treated in Chapter VII. One may ask also for those which have infinitely many rational points, and for this, there is only Mordell's conjecture that if the genus is :;;; 2, then there is only a finite number of rational points.